Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7，CD=1，AD=BC=5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）求四边形MEFN面积的最大值．

Answer 1

解：（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H，
∵AB∥CD，
∴DG=CH，DG∥CH，
∴∠DGH=∠CHG=∠CDG=90°，
∴四边形DGHC为矩形，GH=CD=1．
∵DG=CH，AD=BC，∠AGD=∠BHC=90°，
∴△AGD≌△BHC（HL），
∴AG=BH=×（7-1）=3，
∵在Rt△AGD中，AG=3，AD=5，
由勾股定理得：DG=4，
∴S_梯形ABCD=（AB+CD）•DG
=×（1+7）×4
=16．
答：梯形ABCD的面积是16．

（2）∵MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，
∴∠MEF=90°，
∴ME=NF，ME∥NF，
∴四边形MEFN为矩形．
∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠A=∠B．
∵ME=NF，∠MEA=∠NFB=90°，
∴△MEA≌△NFB（AAS）．
∴AE=BF，
设AE=x，则EF=7-2x，
∵∠A=∠A，∠MEA=∠DGA=90°，
∴△MEA∽△DGA，
∴=．
∴ME=x，
S_矩形MEFN=ME•EF=x（7-2x）=-（x-）²+．
当x=时，ME=＜4，
∴四边形MEFN面积的最大值为．
答：四边形MEFN面积的最大值是．
分析：（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H，由AB∥CD，DG∥CH，得到矩形DCCHG，即GH=1，根据勾股定理求出DG的长，即可求出梯形的面积；
（2）与（1）类似求出矩形MEFN，再证明△MEA≌△NFB，得到AE=BF，设AE=x，则EF=7-2x，根据△MEA∽△DGA，求出ME=x，根据矩形的面积公式即可求出S和x的关系式，化成顶点式即可求出答案．
点评：本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰梯形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，二次函数的最值等知识点，综合运用性质和判定进行计算是解此题的关键．题型较好，综合性强，有一定的难度．