Question

18．如图，在直角坐标系中，?ABCD的顶点A，B，D的坐标是A（-1，0），B（0，-$\frac{1}{2}$），D（0，2）．
（1）求点C的坐标；
（2）判断?ABCD是不是矩形，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）作CE⊥OD于E，则∠CED=90°，由题意得出OA=1，OB=$\frac{1}{2}$，OD=2，由平行四边形的性质得出CD=AB，CD∥AB，由AAS证明△CDE≌△ABO，得出CE=AO=1，DE=OB=$\frac{1}{2}$，得出OE=OD-DE=$\frac{3}{2}$，即可得出点C的坐标；
（2）证出$\frac{OB}{OA}=\frac{OA}{OD}$，证明△AOB∽△DOA，得出对应角相等∠ABO=∠DAO，再由角的互余关系得出∠BAD=90°，即可得出结论．

解答 解（1）作CE⊥OD于E，如图所示：
则∠CED=90°=∠AOB，
∵A（-1，0），B（0，-$\frac{1}{2}$），D（0，2），
∴OA=1，OB=$\frac{1}{2}$，OD=2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴∠CDE=∠ABO，
在△CDE和△ABO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CED=∠AOB}&{\;}\\{∠CDE=∠ABO}&{\;}\\{CD=AB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△ABO（AAS），
∴CE=AO=1，DE=OB=$\frac{1}{2}$，
∴OE=OD-DE=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴点C的坐标为（1，$\frac{3}{2}$）；
（2）?ABCD是矩形；理由如下：
∵$\frac{OB}{OA}=\frac{1}{2}$，$\frac{OA}{OD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OB}{OA}=\frac{OA}{OD}$，
又∵∠AOB=∠DOA=90°，
∴△AOB∽△DOA，
∴∠ABO=∠DAO，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠DAO+∠BAO=90°，
即∠BAD=90°，
∴?ABCD是矩形．

点评 本题考查了矩形的判定与性质、坐标与图形性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度．