Question

如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AH⊥CB于H，AD平分∠CAB．
（1）如果∠B=30°，∠C=70°，求∠CAD的度数．
（2）如果∠B=40°，∠HAD=20°，求∠C度数．
（3）求证：∠HAD=（∠C-∠B）

Answer 1

解：（1）∵∠B=30°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-70°=80°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAC=∠BAC=×80°=40°；

（2）∵∠B=40°，AH⊥CB，
∴∠BAH=90°-∠B=90°-40°=50°，
∵∠HAD=20°，
∴∠BAD=∠BAH-∠HAD=50°-20°=30°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAC=2∠BAD=2×30°=60°，
在△ABC中，∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-40°-60°=80°；

（3）∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=90°-（∠B+∠C），
∵AH⊥CB，
∴∠CAH=90°-∠C，
∴∠HAD=∠CAD-∠CAH=90°-（∠B+∠C）-（90°-∠C），
=（∠C-∠B），
即：∠HAD=（∠C-∠B）．
分析：（1）先利用三角形的内角和定理列式求出∠BAC，再根据角平分线的定义可得∠CAD=∠BAC；
（2）根据直角三角形两锐角互余求出∠BAH，然后求出∠BAD，再根据角平分线的定义可得∠BAC=2∠BAD，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解；
（3）先根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠CAD，再根据直角三角形两锐角互余表示出∠CAH，然后根据∠HAD=∠CAD-∠CAH整理即可得证．
点评：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，是基础题，熟记定理与概念并准确识图是解题的关键．