Question

如图，平面直角坐标系中，点A（1，2）、B（5，6），点P是x轴上的一个动点，当△PAB周长最小的时候：
（1）画出点P，保留作图痕迹；
（2）求点P坐标；
（3）直线PA上是否存在点M，使得PM=PB？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴相交于一点，交点即为所求作的点P；
（2）设AA′与x轴的交点为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，根据点A、B的坐标求出A′C、BD的长度以及CD的长度，再根据相似三角形对应边成比例列式求出CP、PD的比，然后求出CP的长度，从而得到PO的长度，即可得到点P的坐标；
（3）根据轴对称性可知，点B关于x轴的对称点即为所求的一个点，这个点关于点P的对称点也是符合要求的一个点．

解答：解：（1）如图所示，点P即为使△PAB周长最小的点；

（2）设AA′与x轴的交点为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵A（1，2）、B（5，6），
∴A′C=2，BD=6，CD=5-1=4，
∵A′C⊥x轴，BD⊥x轴，
∴A′C∥BD，
∴△A′CP∽△BDP，
∴

CP

PD

=

A′C

BD

=

2

6

=

1

3

，
∴CP=

1

3

PD=

1

3

（CD-CP）=

1

3

（4-CP），
解得CP=1，
∵A（1，2），
∴点C的坐标为（1，0），
∴OP=1+1=2，
∴点P的坐标为（2，0）；

（3）直线PA上存在点M，使得PM=PB．
①点M为点B关于x轴的对称点（5，-6）时，符合题意；
②点（5，-6）关于点P的对称点时也符合题意，
此时点M的坐标为（-1，6），
综上所述，点M的坐标为（5，-6）或（-1，6）时，PM=PB．

点评：本题是对一次函数的综合考查，利用轴对称求最短路线问题，相似三角形的判定与性质，熟练掌握利用轴对称确定最短路线的点是解题的关键．