Question

7．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是位于直线BC下方的抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交直线BC于点Q，求线段PQ的最大值；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，问是否存在点P，使以M、P、Q为顶点的三角形与△CBO相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点代入y=ax²+bx+c，利用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=-x+3．设P点坐标为（t，t²-4t+3），则Q坐标为（t，-t+3），那么PQ=-t+3-（t²-4t+3）=-t²+3t，再利用配方法化为顶点式，即可求出PQ的最大值；
（3）由PQ∥y轴，得出∠PQB=∠OCB，那么以M，P，Q为顶点的三角形与△OBC相似包含两种情况：①当△PMQ∽△OBC时，PM⊥PQ，y_P=y_M=1，易求P（2-$\sqrt{2}$，1）；②当△MPQ∽△OBC时，先求直线PM的解析式，再联立PM与抛物线的解析式，求出P（1，0）．

解答 解：（1）把A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点代入y=ax²+bx+c，
得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
则抛物线的解析式为y=x²-4x+3；

（2）设直线BC的解析式为y=mx+n，
将点B，C坐标代入y=mx+n，
得$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
所以直线BC的解析式为y=-x+3．
设P点坐标为（t，t²-4t+3），则Q坐标为（t，-t+3），
∴PQ=-t+3-（t²-4t+3）=-t²+3t=-（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴当t=$\frac{3}{2}$时，PQ的值最大，最大值为$\frac{9}{4}$；

（3）∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∵点M是对称轴与直线BC的交点，
∴将x=2代入y=-x+3，得y=-2+3=1，即M（2，1）．
∵PQ∥y轴，
∴∠PQB=∠OCB，
∴以M，P，Q为顶点的三角形与△OBC相似包含两种情况：△PMQ∽△OBC或△MPQ∽△OBC．
①当△PMQ∽△OBC时，∠QPM=∠COB=90°，即PM⊥PQ，
∴y_P=y_M=1，
将y_P=1代入y=x²-4x+3，得x²-4x+3=1，
解得x₁=2-$\sqrt{2}$，x₂=2+$\sqrt{2}$（舍去），
∴此时P（2-$\sqrt{2}$，1）；
②当△MPQ∽△OBC时，∠QMP=∠COB=90°，即PM⊥BC，
∴k_PM=$\frac{-1}{{k}_{BC}}$=1，
∴可设直线PM的解析式为y=x+d，
将M（2，1）代入y=x+d，
得2+d=1，解得d=-1，
∴y=x-1，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$（舍去），
∴此时P（1，0）．
综上所述，存在点P，使以点M，P，Q为顶点的三角形与△OBC相似，P点坐标为（2-$\sqrt{2}$，1）或（1，0）．

点评 此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数、一次函数解析式的确定，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，一次函数与二次函数的交点等重要知识；要注意的是（3）题中，一定要根据相似三角形的不同对应顶点来分类讨论，以免漏解．