Question

已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，∠BAF=∠DAE．
（1）求证：AE=AF；
（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定

专题：证明题

分析：（1）首先利用菱形的性质得出AB=AD，∠B=∠D，进而得出△ABE≌△ADF（ASA），即可得出答案；
（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC和△ACD都是等边三角形，进而得出∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°，求出△AEF为等边三角形．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
又∵∠BAF=∠DAE，
∴∠BAE=∠DAF，
在△ABE和△ADF中，

∠B=∠D AB=AD ∠BAE=∠DAF

，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE=AF；

（2）解：连接AC，
∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，
∴AB=AC=AD，
∵AB=BC=CD=DA，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴∠CAE=∠BAE=30°，∠CAF=∠DAF=30°，
∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°，
又∵AE=AF，
∴△AEF是等边三角形．

点评：此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．