Question

如图1，抛物线y=ax²+4x+b经过点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C；
（1）求抛物线的解析式；
（2）将△OAC沿AC翻折得到△ACE，直线AE交抛物线于点P，求点P的坐标；
（3）如图2，点M为直线BC上一点（不与B、C重合），在抛物线上是否存在这样的点N，使三点O，M，N构成以O为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线y=ax²+4x+b经过A（1，0），B（3，0）两点，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；
（2）点P为直线AE和抛物线的交点，欲求点P，必须先求出直线AE的解析式．设直线AE与y轴的交点为F，易得△FOA∽△FEC，由于OA=1，EC=3，根据相似三角形的对应边成比例即可得到FE=3OF，设OF=x，则EF=3x，AF=3x-1，进而可在Rt△FOA中求出x的值，也就能求出F点的坐标，然后利用待定系数法求出直线AE的解析式，与抛物线的解析式联立即可得到点P的坐标；
（3）设M（n，n-3），过M作MG⊥x轴于G，过N作NH⊥x轴于H．分三种情况讨论：①当点M在第一象限时，因为△OMN是等腰直角三角形，即可证得△OMG≌△NOH，得MG=OH，NH=OG，由此可表示出N点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得点M、N的坐标；②当点M在第三象限时，解法同①；③当点M在第四象限时，解法同①．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+4x+b经过点A（1，0），B（3，0），
∴

a+4+b=0 9a+12+b=0

，
解得：

a=-1 b=-3

，
∴抛物线的解析式为y=-x²+4x-3；

（2）如图，设AE交y轴于点F．
∵将△OAC沿AC翻折得到△ACE，
∴∠FOA=∠FEC=90°，CE=CO=3，AE=AO=1．
∵∠OFA=∠EFC，∠FOA=∠FEC=90°，
∴△FOA∽△FEC，
∴

OF

EF

=

OA

CE

=

1

3

，
设OF=x，则EF=3x，FA=EF-AE=3x-1．
在Rt△FOA中，由勾股定理得：
FA²=OF²+AO²，
即（3x-1）²=x²+1，
解得x=

3

4

，
即OF=

3

4

，F（0，

3

4

）．
设直线AE的解析式为y=kx+m，将A（1，0），F（0，

3

4

）代入，得

k+m=0 m= 3 4

，解得

k=- 3 4 m= 3 4

．
则直线AE的解析式为y=-

3

4

x+

3

4

．
解方程组

y=-x2+4x-3 y=- 3 4 x+ 3 4

，
解得

x= 15 4 y=- 33 16

或

x=1 y=0

．
故点P的坐标为（

15

4

，-

33

16

）；

（3）在抛物线上存在点N（2，1）或（5，-8），能使三点O，M，N构成以O为直角顶点的等腰直角三角形．理由如下：
∵B（3，0），C（0，-3），
∴直线BC的解析式为：y=x-3；
过M作MG⊥x轴于G，过N作NH⊥x轴于H．设点M（n，n-3），分三种情况：
①当点M在第一象限时，如图，则OG=n，MG=n-3；
∵点O，M，N构成以O为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠MON=90°，OM=ON，
则可证得△MOG≌△ONH，得：
OG=NH=n，MG=OH=n-3，
∴N（n-3，-n），
将其代入抛物线的解析式中，得：
-（n-3）²+4（n-3）-3=-n，
整理得：n²-11n+24=0，
解得n=8，n=3（舍去）；
故M（8，5），N（5，-8）；
②当点M在第三象限时，OG=-n，MG=3-n；
同①可得：MG=OH=3-n，OG=NH=-n，
则N（3-n，n），代入抛物线的解析式可得：
-（3-n）²+4（3-n）-3=n，
整理得：n²-n=0，故n=0或=1．
由于点M在第三象限，
所以n＜0，
故n=0或n=1均不合题意，此种情况不成立；
③当点M在第四象限时，如图，则OG=n，MG=3-n；
同①得：N（3-n，n），在②中已经求得此时n=0（舍去），n=1；
故M（1，-2），N（2，1）；
综上可知：存在符合条件的N点，且坐标为N（2，1）或（5，-8）．

点评：此题主要考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象交点坐标的求法，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的综合应用等知识，综合性较强，有一定难度．需要注意的是第（3）题中，由于点M的位置不确定，一定要根据点M所处的不同象限分类讨论，以免漏解．