Question

如图，以Rt△ABC的一条直角边AB为直径作⊙O，与AC交于点F，在AB的延长线上取一点E，联结EF与BC交于点D，且使得DF＝CD．

(1)求证：FE是⊙O的切线

(2)如果sin∠A＝，AE＝，求AF的长

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：联结OF 　　∵OA＝OF　∴∠OAF＝∠OFA 　　∵DF＝DC．∴∠DFC＝∠DCF…………………………1分 　　∵∠ABC＝90° 　　∴∠OAF＋∠FCD＝90° 　　∴∠AFO＋∠DFC＝90° 　　∴∠OFD＝90°……………………2分 　　∴CD与⊙O相切…………………………3分 　　(2)∵sin∠A＝　∴∠A＝30°∴∠ACB＝60° 　　在Rt△ABC和Rt△CBE中，∠A＝30°，∠BEF＝30° 　　设BD＝x，则BE＝x，BC＝2x， 　　∴AC＝4x∴AB＝2AE＝3 　　∴x＝，即BD＝CD＝ 　　∴AC＝…………………………4分 　　联结BF，则有DF＝BC 　　又∵∠BFC＝90°∴DB＝DF＝DC， 　　∵∠ACB＝60° 　　∴△DFC为等边三角形 　　∴CF＝DF＝ 　　∴AF＝AC－CF＝1……………………5分