Question

6．若直角三角形的两直角边长分别为5、12，则它的内切圆的半径为（　　）

• A． 6
• B． 2.5
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 用勾股定理求出斜边AC的长，连接OD，OE，OF，根据切线的性质得出四边形OFBD是正方形，根据正方形的性质得到四条边相等，设出圆的半径为r，根据切线长定理得到AD=AE=12-r，同理可得出CE=CF=5-r，进而得到AC=AE+EC=AD+CF，列出关于r的方程，求出方程的解可得出r的值．

解答 解：如图所示：
∵直角三角形的两直角边长BC=5，AC=12，
∴根据勾股定理得：直角三角形的斜边AC=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，
又圆O为三角形的内切圆，D，E，F分别为切点，连接OD，OE，OF，
∴OD⊥AB，OF⊥BC，
∴∠ODB=∠B=∠OFB=90°，
∴四边形OFBD为矩形，又OD=OF，
∴四边形OFBD为正方形，
∴OD=DB=BF=OF，
又AD，AE为圆O的两条切线，
∴AD=AE，
同理CE=CF，BD=BF，
设圆O的半径为r，则有BD=BF=r，
∴CF=CE=5-r，AD=AE=12-r，
又AC=AE+EC=AD+CF=12-r+5-r=17-2r=13，
解得：r=2，
则该直角三角形的内切圆的半径为2．
故选：C．

点评 此题考查了三角形的内切圆与内心、勾股定理，正方形的判定与性质、切线长定理；利用了方程及转化的思想，本题的关键是根据题意画出相应的图形，添加合适的辅助线，设出未知数，建立方程来解决问题．