Question

如图，已知A、B两点的坐标分别为（2

3

，0）、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为

（

3

+1，

3

+1）或（

3

-1，1-

3

）

．

Answer 1

分析：过圆心C作CF平行于OA，过P作PE垂直于x轴，两线交于F，由A和B的坐标得出OA及OB的长，利用勾股定理求出AB的长，由∠AOP=45°，得到三角形POE为等腰直角三角形，得到P的横纵坐标相等，设为（a，a），再由∠AOB=90°，利用圆周角定理得到AB为直径，外接圆圆心即为直径AB的中点，设为C，求出C的坐标，可得出PC=2，根据垂径定理求出EF的长，用PE-EF表示出PF，用P的横坐标减去C的横坐标，表示出CF，在直角三角形PCF中，利用勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，进而确定出P的坐标．

解答：解：∵OB=2，OA=2

3

，
∴AB=

OA2+OB2

=4，
∵∠AOP=45°，
∴P点横纵坐标相等，可设为a，即P（a，a），
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C（

3

，1），
可得P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2，
过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP=90°，
∴PF=a-1，CF=a-

3

，PC=2，
∴在Rt△PCF中，利用勾股定理得：（a-

3

）²+（a-1）²=2²，
舍去不合适的根，可得：a=1+

3

，
则P点坐标为（

3

+1，

3

+1）．
∵P与P′关于圆心（

3

，1）对称，
∴P′（

3

-1，1-

3

）．
故答案为：（

3

+1，

3

+1）或（

3

-1，1-

3

）

点评：此题考查了圆周角定理，勾股定理，坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定与性质，以及角平分线的性质，利用了转化及方程的思想，是一道综合性较强的试题．