Question

1．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩OABC的位置如图所示，点A，C的坐标分别为（10，0），（0，8），点P是y轴上的一个动点，将△OAP沿AP翻折得到：△O′AP，直线BC与直线O′P交于点E，与直线O′A交于点F．
（1）当O′落在直线BC上时，求折痕AP的长．
（2）当点P在y轴正半轴上时，若△PCE与△POA相似，求直线AP的解析式；
（3）在点P的运动过程中，是否存在某一时刻，使得$\frac{CE}{BC}=\frac{1}{5}$？若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先在RT△ABO′求出BO′，设PO=PO′=x，在RT△PCO′中利用勾股定理解决即可．
（2）当∠CPE=∠APO时得∠CPE=∠APO=∠APO′=60°求出OP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OA即可．当∠CPE=∠OAP时，∠CEP=∠APO=∠APO′，此时AP∥EC，显然不可能．
（3）分四种情形讨论，在RT△PCE中利用E²=PC²+CE²，列出方程即可．

解答 解：（1）图1，当O′落在直线BC上时，
在RT△ABO′中，∵AO′=10，AB=8，
∴BO′=$\sqrt{AO{′}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵△APO′是由△AOP翻折，
∴可以设PO=PO′=x，
在RT△PCO′中，∵PO′²=PC²+CO′²，
∴x²=（8-x）²+4²，
∴x=5，
∴AP=$\sqrt{O{P}^{2}+A{O}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+1{0}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
当O″在CB的延长线上时，设CP′=y，
则有y²+16²=（y+8）²，
∴y=12，
∴OP′=20，
AP′=$\sqrt{1{0}^{2}+2{0}^{2}}$=10$\sqrt{5}$，
综上所述，当O′落在直线BC上时，求折痕AP的长为5$\sqrt{5}$或10$\sqrt{5}$．

（2）当∠CPE=∠APO时，
∵∠CPE=∠APO=∠APO′=60°，
∴OP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OA=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
设直线AP为y=kx+b，由题意$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{10\sqrt{3}}{3}}\\{10k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{10\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AP为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{10\sqrt{3}}{3}$．
当∠CPE=∠OAP时，∠CEP=∠APO=∠APO′，此时AP∥EC，显然不可能．
（3）情形1如图2中，∵CE=$\frac{1}{5}$BC=2，
∴BE=8，AE=$\sqrt{E{B}^{2}+A{B}^{2}}$=8$\sqrt{2}$，EO′=$\sqrt{A{E}^{2}-AO{′}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
设OP=x，在RT△PCE中，∵PE²=PC²+CE²，
∴（x-2$\sqrt{7}$）²=（8-x）²+2²，
∴x=$\frac{10（4+\sqrt{7}）}{9}$，此时P[0，$\frac{10（4+\sqrt{7}）}{9}$]，
情形2如图3中，同理O′E=2$\sqrt{7}$，
设OP=x，在RT△PCE中，∵PE²=PC²+CE²，
∴（x+2$\sqrt{7}$）²=（8-x）²+2²，
∴x=$\frac{10（4-\sqrt{7}）}{9}$，此时P[0，$\frac{10（4-\sqrt{7}）}{9}$]，
情形3如图4中，AE=$\sqrt{E{B}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{13}$，
EO′=$\sqrt{A{E}^{2}-AO{′}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
设OP=x，在RT△PCE中，∵PE²=PC²+CE²，
∴（6$\sqrt{3}$-x）²=（x-8）²+2²，
∴x=$\frac{10（3\sqrt{3}+4）}{11}$，此时P[0，$\frac{10（3\sqrt{3}+4）}{11}$]，
情形4如图5中，设OP=x，在RT△PCE中，∵PE²=PC²+CE²，
∴（6$\sqrt{3}$-x）²=（x+8）²+2²，
∴x=$\frac{10（3\sqrt{3}-4）}{11}$，此时P[0，$\frac{10（3\sqrt{3}-4）}{11}$]．

点评 本题考查矩形的性质、勾股定理等知识，用到转化的思想，分类讨论的方法，灵活运用勾股定理是解题的关键，分类讨论时考虑问题要全面．