Question

5．在等边△ABC中，点E在直线AC上，连接BE，点D在直线BC上，且CE=CD，连接ED、AD，点F是BE的中点，连接FA、FD．
（1）如图1，当点E在AC上，点D在BC的延长线上，若CD=2，BC=3，求△BEC的面积；
（2）如图1，当点E在AC上，点D在BC的延长线上，且AE=CE时，求证：AD=2AF；
（3）如图2，当点E在AC的延长线上，点D在BC上，且∠ADF=120°时，直接写出$\frac{BD}{AD}$值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作EH⊥BC于H．想办法求出EH，即可解决问题．
（2）如图1过点B作BG∥AC交AF的延长线于G，先证明△BFG≌△EFA，再证明△ABG≌△ACD，即可解决问题．
（3）如图2中，作DG⊥AC于G，FH⊥BC于H，EM⊥BC于M．设BD=a，DC=CE=2b，则CG=b，AG=a+b，DG=$\sqrt{3}$b，CM=b，EM=$\sqrt{3}$b，FH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，DH=BH-BD=$\frac{a+3b}{2}$-a=$\frac{3b-a}{2}$，由△AGD∽△DHF，得$\frac{AG}{DH}$=$\frac{DG}{FH}$，即$\frac{a+b}{\frac{3b-a}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}b}{\frac{\sqrt{3}}{2}b}$，推出a=b，所以AG=2a，DG=$\sqrt{3}$a，根据AD=$\sqrt{A{G}^{2}+D{G}^{2}}$，求出AD即可解决问题．

解答 （1）解：如图1中，作EH⊥BC于H．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ECH=60°，
∵EC=DC=2，
∴EH=EC•sin60°=$\sqrt{3}$，
∴S_△BEC=$\frac{1}{2}$•BC•EH=$\frac{1}{2}$×$3×\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

（2）证明：如图1过点B作BG∥AC交AF的延长线于G，
∴∠G=∠EAF，∠CBG=∠ACB=60°，
∴∠ABG=∠ABC+∠CBG=120°=∠ACD，
∵点F是BD中点，
∴BF=DF，
在△BFG和△EFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠EAF}\\{∠BFG=∠AFE}\\{BF=EF}\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△EFA，
∴BG=AE，AF=FG，
∵AE=EC=CD，
∴BG=CD，
在△ABG和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABG=∠ACD}\\{BG=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ACD，
∴AD=AG=2AF．

（3）如图2中，作DG⊥AC于G，FH⊥BC于H，EM⊥BC于M．设BD=a，DC=CE=2b，则CG=b，AG=a+b，DG=$\sqrt{3}$b，CM=b，EM=$\sqrt{3}$b，FH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，DH=BH-BD=$\frac{a+3b}{2}$-a=$\frac{3b-a}{2}$，
∵∠ADF=120°=∠ABD+∠BAD+∠FDH=60°+∠BAD+∠FDH，
∴∠BAD+∠FDH=60°，
∵∠BAD+∠DAG=60°，
∴∠DAG=∠FDH，
∵∠AGD=∠DHF，
∴△AGD∽△DHF，
∴$\frac{AG}{DH}$=$\frac{DG}{FH}$，
∴$\frac{a+b}{\frac{3b-a}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}b}{\frac{\sqrt{3}}{2}b}$，
∴a=b，
∴AG=2a，DG=$\sqrt{3}$a，
∴AD=$\sqrt{A{G}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{7}$a，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{a}{\sqrt{7}a}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，本题难度较大，解本题的关键是构造出△BFG≌△EFA，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．