Question

如图，⊙O的直径AB=6，C为圆周上的一点，BC=3．过C点作⊙O的切线GE，作AD⊥GE于点D，交⊙O于点F．
（1）求证：∠ACG=∠B．
（2）计算线段AF的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC，BF．
∵GE是过点C的⊙O的切线，
∴OC⊥GE，即∠ACG+∠OCA=90°．
∵AB是⊙O的直径，AO=OC，
∴∠ACB=90°，∠BAC=∠OCA．
∵∠B+∠CAB=90°，
∴∠B=∠ACG；

（2）解：∵Rt△ACB中，AB=6，BC=3，
∴∠CAB=30°．
∵∠B=∠ACG=60°，AD⊥GE，
∴∠CAD=30°．
∴∠DAB=∠CAD+∠CAB=60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∵AB=6，
∴AF=AB=3．
分析：（1）连接OC，BF．根据切线的性质得到OC⊥GE，即∠ACG+∠OCA=90°，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=90°，则∠B+∠CAB=90°，而∠BAC=∠OCA，得到∠B=∠ACG．
（2）Rt△ACB中，AB=6，BC=3，得到∠CAB=30°，而∠B=∠ACG=60°，AD⊥GE，则∠CAD=30°，则∠DAB=∠CAD+∠CAB=60°，根据直径所对的圆周角为直角得到∠AFB=90°，所以AF=AB=3．
点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；也考查了含30度的直角三角形三边的关系以及圆周角定理的推论．