Question

3．如图，在△ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，N是OC的中点．
（1）求证：OC=2OE；
（2）若S_△CDN=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据重心的定义，由BD、CE是边AC、AB上的中线得到点O为△ABC的重心，然后根据重心的性质易得OC=2OE；
（2）根据三角形面积公式易得S_△OCD=2S_△CDN=2，再利用重心的性质得OB：OD=2：1，则S_△BCD=3S_△OCD=6，然后利用AD=CD可得S_△ABC=2S_△BCD=12．

解答 （1）证明：∵BD、CE是边AC、AB上的中线，
∴点O为△ABC的重心，
∴OC：OE=2：1，
即OC=2OE；
（2）解：∵N是OC的中点，
∴S_△OCD=2S_△CDN=2，
∵点O为△ABC的重心，
∴OB：OD=2：1，
∴S_△BCD=3S_△OCD=6，
∵BD为中线，
∴AD=CD，
∴S_△ABC=2S_△BCD=12．

点评 本题考查了三角形重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了三角形面积公式．