Question

8．如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧$\widehat{BC}$的中点，点D是优弧$\widehat{BC}$上一点，且∠D=30°，下列四个结论：
①OA⊥BC；②BC=6$\sqrt{3}$cm；③sin∠AOB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；④四边形ABOC是菱形．
其中正确结论的序号是①②③④．

Answer 1

分析 分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即可．

解答 解：∵点A是劣弧$\widehat{BC}$的中点，OA过圆心，
∴OA⊥BC，故①正确；
∵∠D=30°，
∴∠ABC=∠D=30°，
∴∠AOB=60°，
∵点A是劣弧$\widehat{BC}$的中点，
∴BC=2CE，
∵OA=OB，
∴OA=OB=AB=6cm，
∴BE=AB•cos30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$cm，
∴BC=2BE=6$\sqrt{3}$cm，故②正确；
∵∠AOB=60°，
∴sin∠AOB=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故③正确；
∵∠AOB=60°，
∴AB=OB，
∵点A是劣弧$\widehat{BC}$的中点，
∴AC=AB，
∴AB=BO=OC=CA，
∴四边形ABOC是菱形，
故④正确．
故答案为：①②③④．

点评 本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形等知识，熟练应用菱形的判定方法是解题关键．