Question

13．如图1，AB为半圆直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的直线，AC平分DAB，AB的延长线交直线CD于点E．

（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若AB=8，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长；
（3）如图2，连接OD交AC于点G，若$\frac{CG}{GA}$=$\frac{3}{5}$，求sinE的值．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图1，根据平行线的判定得OC∥AD，进而求出DE为⊙O的切线；
（2）如图1，由B为OE的中点，AB为直径得到OB=BE=4，OC=4，在Rt△OCE中，由于OE=2OC，根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OEC=30°，则∠COE=60°，由CF⊥AB得∠OFC=90°，所以∠OCF=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OF=$\frac{1}{2}$OC=2，CF=$\sqrt{3}$OF=2$\sqrt{3}$；
（3）连结OC，如图2，先证明△OCG∽△DAG，利用相似的性质得$\frac{OC}{AD}$=$\frac{CG}{AG}$=$\frac{3}{5}$，再证明△ECO∽△EDA，利用相似比得到$\frac{OE}{EA}$=$\frac{OC}{AD}$=$\frac{3}{5}$，设⊙O的半径为R，OE=x，代入求得OE=$\frac{3}{2}$R；最后在Rt△OCE中，根据正弦的定义求解．

解答 （1）证明：连结OC，如图1，
∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴AD∥CO，
∵AD⊥DC，
∴CO⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；

（2）解：如图1，
∵直径AB=8，B为OE的中点，
∴OB=BE=4，OC=4，
在Rt△OCE中，OE=2OC，
∴∠OEC=30°，
∴∠COE=60°，
∵CF⊥AB，
∴∠OFC=90°，
∴∠OCF=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OC=2，
CF=$\sqrt{3}$OF=2$\sqrt{3}$；

（3）解：连结OC，如图2，
∵OC∥AD，
∴△OCG∽△DAG，
∴$\frac{OC}{AD}$=$\frac{CG}{AG}$=$\frac{3}{5}$，
∵OC∥AD，
∴△ECO∽△EDA，
∴$\frac{OE}{EA}$=$\frac{OC}{AD}$=$\frac{3}{5}$，
设⊙O的半径为R，OE=x，
∴$\frac{x}{x+R}$=$\frac{3}{5}$，
解得：OE=$\frac{3}{2}$R，
在Rt△OCE中，sin∠E=$\frac{OC}{OE}$=$\frac{R}{\frac{3}{2}R}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了解直角三角形．