Question

如图，已知反比例函数和一次函数y=2x-1，其中反比例函数的图象经过点（2，）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）将（2，）代入反比例解析式得：k=1，
故反比例解析式为y=；

（2）联立得：，
消去y得：2x-1=，整理得：2x²-x-1=0，即（2x+1）（x-1）=0，
解得：x=-（不合题意，舍去）或x=1，
将x=1代入y=2x-1得：y=1，
则A（1，1）；

（3）存在，分三种情况考虑，以O为圆心OA长为半径画弧，与x轴交于点P₁，P₂，
∵A（1，1），
∴OA=，
∴OP₁=OP₂=，
∴点P₁（-，0），P₂（，0）；
以A为圆心，AO长为半径画弧，与x轴交于P₃点，此时P₃（2，0）；
做出线段OA的垂直平分线，与x轴交于P₄点，此时P₄（1，0），
综上，满足题意的P点坐标为（-，0）或（，0）或（2，0）或（1，0）．
分析：（1）将已知点坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）联立反比例与一次函数解析式，即可求出A的坐标；
（3）存在，分三种情况考虑，以O为圆心OA长为半径画弧，与x轴交于点P₁，P₂；以A为圆心，AO长为半径画弧，与x轴交于P₃点；做出线段OA的垂直平分线，与x轴交于P₄点，分别求出坐标即可．
点评：此题考查了反比例综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，两函数交点坐标求法，等腰三角形的性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．