Question

19．如图，直线l经过点A（1，0），且与双曲线y=$\frac{m}{x}$（x＞0）交于点B（2，1），过点P（a，a-1）（a＞1）作x轴的平行线分别交曲线y=$\frac{m}{x}$（x＞0）和y=-$\frac{m}{x}$（x＜0）于M，N两点．
（1）求m的值及直线l的解析式；
（2）如果存在点P，使四边形OAMN是平行四边形，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求反比例和一次函数的解析式；
（2）先确定出点M，N的坐标，再利用MN=OA即可建立方程求出a的值．

解答 解：（1）把B（2，1）代入y=$\frac{m}{x}$中得：m=2×1=2，
设直线l的解析式为：y=kx+b
把A（1，0）、B（2，1）代入y=kx+b中得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{2k+b=1}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线l的解析式为：y=x-1；
（2）由（1）知，m=2，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{2}{x}$和y=-$\frac{2}{x}$，
∵过点P（a，a-1）（a＞1）作x轴的平行线分别交曲线y=$\frac{2}{x}$（x＞0）和y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）于M，N两点，
∴M（$\frac{2}{a-1}$，a-1），N（-$\frac{2}{a-1}$，a-1），
∴MN=$\frac{2}{a-1}$-（-$\frac{2}{a-1}$）=$\frac{4}{a-1}$，
∴A（1，0），
∴OA=1，
∵四边形OAMN是平行四边形，且MN∥OA，
∴$\frac{4}{a-1}$=1，
∴a=5．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了了待定系数法，平行四边形的性质，解（1）的关键是掌握待定系数法，解（2）的关键是建立方程求解，是一道很好的中考常考题．