Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为4，AD=3，
①求AC的长．
②若点P是弧AB的中点（直径的下面），求弦CP的长．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）连接OC，如图，由OA=OC得∠OAC=∠OCA，由AC平分∠DAB得∠DAC=∠OAC，则∠DAC=∠OCA，于是可判断OC∥AD，加上AD⊥CD，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）①连接BC，如图，证明Rt△ADC∽Rt△ACB，利用相似比可计算出AC的长；
②作PE⊥CA于E，PF⊥CB于F，连结PA、PB，如图，先计算出BC=2，再利用角平分线的性质得PE=PF，接着证明Rt△PAE≌Rt△PBF得到AE=BF，然后证明四边形PECF为正方形得到CE=CF，PC=

2

CE，则AC-AE=CB+BF，2AE=AC-BC=2

3

-2，可计算出AE=

3

-1，所以CE=

3

+1，从而得到CP=

2

CE=

6

+

2

．

解答：（1）证明：连接OC，如图，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴直线CD为⊙O的切线；
（2）解：①连接BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°．
∵∠DAC=∠OAC，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，即

3

AC

=

AC

4

∴AC=2

3

；
②作PE⊥CA于E，PF⊥CB于F，连结PA、PB，如图，
在Rt△ACB中，∵AB=4，AC=2

3

，
∴BC=

AB2-AC2

=2，
∵点P是弧AB的中点，
∴

PA

=

PB

，
∴PA=PB，∠ACP=∠BCP，
∴PC平分∠ACB，
∴PE=PF，
在Rt△PAE和Rt△PBF中，

PE=PF PA=PB

，
∴Rt△PAE≌Rt△PBF（HL），
∴AE=BF，
∵∠ECF=90°，PE⊥CE，PF⊥CF，
∴四边形PECF为矩形，
而PE=PF，
∴四边形PECF为正方形，
∴CE=CF，PC=

2

CE，
∴AC-AE=CB+BF，
∴2AE=AC-BC=2

3

-2，解得AE=

3

-1，
∴CE=2

3

-（

3

-1）=

3

+1，
∴CP=

2

（

3

+1）=

6

+

2

．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了圆周角定理、角平分线定理和相似三角形的判定与性质．