Question

17．定义：若一次函数y=ax+b与反比例函数y=-$\frac{c}{x}$满足$\frac{a}{b}$=$\frac{b}{c}$．则称y=ax²+bx+c为一次函数和反比例函数的“等比”函数．
（1）试判断（需写出判断过程）一次函数y=x+b与反比例函数y=-$\frac{9}{x}$是否存在“等比”函数？若存在．请写出它们的“等比”函数的解析式；
（2）若一次函数y=9x+b（b＜0）与反比例函数y=-$\frac{c}{x}$存在“等比”函数，且“等比”函数的图象与y=-$\frac{c}{x}$的图象的交点的横坐标为x=-$\frac{1}{3}$．求反比例函数的解析式；
（3）若一次函数y=ax+b与反比例函数y=-$\frac{c}{x}$（其中a＞0，c＞0，a=3b）存在“等比”函数，且y=ax+b的图象与“等比”函数的图象有两个交点A（x₁，y₂）、B（x₂，y₂）．试判断“等比”函数图象上是否存在一点P（x，y）（其中x₁＜x＜x₂）使得△ABP的面积最大？若存在，请用c表示△ABP面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）假设存在，根据等比函数定义得出b²=9，继而可得b的值，从而得出解析式；
（2）根据等比函数定义及b＜0得出b²=9c，即b=-3$\sqrt{c}$，从而得出解析式为y=9x²-3$\sqrt{c}$x+c，将x=-$\frac{1}{3}$代入解析式可得c的值，可得答案；
（3）根据定义知b²=ac，结合a＞0，c＞0，a=3b可得b=3c，a=9c，继而知一次函数解析式为y=9cx+3c、“等比”函数解析式为y=9cx²+3cx+c，根据两函数图象的交点可得x₁+x₂=$\frac{2}{3}$、x₁x₂=-$\frac{2}{9}$，继而得出|x₁-x₂|=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，过点P作PH⊥x轴，交AB于H，表示出P、H的坐标后可得PH=9cx+3c-（9cx²+3cx+c）=-c（9x²-6x-2），最后根据S=$\frac{1}{2}$PH•|x₁-x₂|列出函数解析式并配方可得最值．

解答 解：（1）存在，
假设一次函数y=x+b与反比例函数y=-$\frac{9}{x}$存在“等比”函数，则b²=9，
解得：b=3或-3，
∴存在“等比”函数，其解析式为y=x²+3x+9或y=x²-3x+9；

（2）根据题意知，b²=9c，
∴b=±3$\sqrt{c}$，
∵b＜0，
∴b=-3$\sqrt{c}$，
则“等比”函数的解析式为y=9x²-3$\sqrt{c}$x+c，
根据题意，将x=-$\frac{1}{3}$代入9x²-3$\sqrt{c}$x+c=$\frac{c}{x}$，得：1+$\sqrt{c}$+c=3c，即（$\sqrt{c}$-1）（2$\sqrt{c}$+1）=0，
解得：$\sqrt{c}$=1或$\sqrt{c}$=-$\frac{1}{2}$（舍），
∴c=1，
故反比例函数的解析式为y=-$\frac{1}{x}$；

（3）存在，
∵b²=ac，且a=3b，
∴b²=3bc，
∵a＞0，c＞0，
∴b=3c，a=9c，
则一次函数解析式为y=9cx+3c，“等比”函数解析式为y=9cx²+3cx+c，
由9cx²+3cx+c=9cx+3c化简得：9x²-6x-2=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2}{3}$，x₁x₂=-$\frac{2}{9}$，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
如图，过点P作PH⊥x轴，交AB于H，

∴H（x，9cx+3c）、P（x，9cx²+3cx+c），
∴PH=9cx+3c-（9cx²+3cx+c）=-c（9x²-6x-2），
∴S=$\frac{1}{2}$PH•|x₁-x₂|=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$c（9x²-6x-2）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$c（3x-1）²+$\sqrt{3}$c，
∴当x=$\frac{1}{3}$时，S取得最大值，最大值为$\sqrt{3}$c．

点评 本题主要考查一次函数、二次函数的综合应用，理解新定义并熟练将函数图象相交的问题转化为方程问题求解、利用二次函数的性质解决最值问题是解题的关键．