Question

已知：在矩形A0BC中，分别以OB，OA所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．E是边AC上的一个动点（不与A，C重合），过E点的反比例函数的图象与BC边交于点F．

（1）若△OAE、△OBF的面积分别为S₁、S₂且S₁+S₂=2，求k的值；

（2）若OB=4，OA=3，记问当点E运动到什么位置时，S有最大值，其最大值为多少？

（3）请探索：是否存在这样的点E，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵点E、F在函数（k＞0）的图象上，

∴设E（x₁， ），F（x₂， ），x₁＞0，x₂＞0，

∴，S₂=  ，

∵S₁+S₂=2，

∴  ，∴k=2；

（2）由题意知：两点坐标分别为，，

∴，

∴

∴

∴．

当时，有最大值．．

此时，点E坐标为（2，3），即点E运动到AC中点．

（3）解：设存在这样的点E，将沿对折后，点恰好落在边上的点，过点作，垂足为．

由题意得：，，，

，∴．

又，

∴．

∴，∴，

∴．

，∴，解得．

∴，故AE=．

∴存在符合条件的点E，它的坐标为

【解析】（1）用k的代数式表示△OAE、△OBF的面积，根据S₁+S₂=2得到k的方程，解出k

（2）根据题意易表示出点E，点F的坐标，用补的方法来表示△OEF的面积，此时需要注意对于补的图形不能少减或多减，从而得到S是K的二次函数，易求S的最大值

（3）由于△CEF是直角三角形，翻折后还是直角三角形，利用三角形相似得到对应边成比例，求出线段MB，由直角三角形的勾股定理求出K的值，从而求出点E的坐标