Question

在ABC中，点P从点A开始出发向点C运动，在运动过程中，设线段AP的长为x，线段BP的长为y（如图1），而y关于x的函数图象如图2所示，点Q是函数图象上的最低点，请仔细观察图1和图2，解答下列问题．
（1）AC边的长为

 

，BC边的长为

 

；
（2）求∠C的度数；
（3）若△BPC为钝角三角形，求x的取值范围．

Answer 1

考点：动点问题的函数图象

专题：数形结合

分析：（1）观察函数图象得到当x=9时，y=4，说明此时P点运动到了C点，于是得到AC=9，BC=4；
（2）作BD⊥AC于D，由函数图象得x=7时，y的值最小，即P点运动到D点时，BP最小，所以AD=7，则DC=2，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到
∠CBD=30°，利用互余有∠C=60°；
（3）作EB⊥BC交AC于E，则点P在线段AE（不含E点）或线段CD（不含端点）上运动时，△BPC为钝角三角形，利用∠CBD=30°可得到∠EBD=60°，∠BED=30°，在Rt△BCE中，可计算出EC=8，所以AE=1，于是得到满足条件的x的取值范围为0≤x＜1或7＜x＜9．

解答：解：（1）观察图2，当x=9时，y=4，此时P点运动到了C点，
所以AC=AP=9，BC=BP=4；
故答案为9，4；

（2）作BD⊥AC于D，如图，
∵点Q是函数图象上的最低点，即x=7时，y的值最小，
∴点P运动到D点时，BP最短，即AD=7，
∴DC=AC-AD=9-7=2，
在Rt△BCD中，CD=2，BC=4，
∴∠CBD=30°，
∴∠C=60°；

（3）作EB⊥BC交AC于E，如图，
∵∠CBD=30°，
∴∠EBD=60°，∠BED=30°，
在Rt△BCE中，EC=2BC=8，
∴AE=1，
当点P在线段AE（不含E点）或线段CD（不含端点）上运动时，△BPC为钝角三角形，
∴x的取值范围为0≤x＜1或7＜x＜9．

点评：本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．