Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5．点E为线段CD上一动点（不与点C重合），△BCE关于BE的轴对称图形为△BFE，连接CF．设CE=x，△BCF的面积为S₁，△CEF的面积为S₂．
（1）当点F落在梯形ABCD的中位线上时，求x的值；
（2）试用x表示

S2

S1

，并写出x的取值范围；
（3）当△BFE的外接圆与AD相切时，求

S2

S1

的值．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：几何综合题,压轴题

分析：（1）利用梯形中位线的性质，证明△BCF是等边三角形；然后解直角三角形求出x的值；
（2）利用相似三角形（或射影定理）求出线段EG与BE的比，然后利用

S2

S1

=

EG

BG

求解；
（3）依题意作出图形，当△BFE的外接圆与AD相切时，线段BE的中点O成为圆心．作辅助线，如答图3，构造一对相似三角形△OMP∽△ADH，利用比例关系列方程求出x的值，进而求出

S2

S1

的值．

解答：解：（1）当点F落在梯形ABCD中位线上时，
如答图1，过点F作出梯形中位线MN，分别交AD、BC于点M、N．

由题意，可知ABCD为直角梯形，则MN⊥BC，且BN=CN=

1

2

BC．
由轴对称性质，可知BF=BC，
∴BN=

1

2

BF，
∴∠BFN=30°，∴∠FBC=60°，
∴△BFC为等边三角形．
∴CF=BC=4，∠FCB=60°，
∴∠ECF=30°．
设BE、CF交于点G，由轴对称性质可知CG=

1

2

CF=2，CF⊥BE．
在Rt△CEG中，x=CE=

CG

cos30°

=

2

3 2

=

4 3

3

．
∴当点F落在梯形ABCD的中位线上时，x的值为

4 3

3

．

（2）如答图2，由轴对称性质，可知BE⊥CF．

∵∠GEC+∠ECG=90°，∠GEC+∠CBE=90°，
∴∠GCE=∠CBE，
又∵∠CGE=∠ECB=90°，
∴Rt△BCE∽Rt△CGE，
∴

BE

CE

=

CE

EG

，
∴CE²=EG•BE   ①
同理可得：BC²=BG•BE  ②
①÷②得：

EG

BG

=

CE2

BC2

=

x2

16

．
∴

S2

S1

=

S△CEF

S△BCF

=

1 2 CF•EG

1 2 CF•BG

=

EG

BG

=

x2

16

．
∴

S2

S1

=

x2

16

（0＜x≤5）．

（3）当△BFE的外接圆与AD相切时，依题意画出图形，如答图3所示．
设圆心为O，半径为r，则r=

1

2

BE=

x2+16

2

．
设切点为P，连接OP，则OP⊥AD，OP=r=

x2+16

2

．

过点O作梯形中位线MN，分别交AD、BC于点M、N，
则OM为梯形ABED的中位线，∴OM=

1

2

（AB+DE）=

1

2

（3+5-x）=

1

2

（8-x）．
过点A作AH⊥CD于点H，则四边形ABCH为矩形，
∴AH=BC=4，CH=AB=3，∴DH=CD-CH=2．
在Rt△ADH中，由勾股定理得：AD=

AH2+DH2

=

42+22

=2

5

．
∵MN∥CD，
∴∠ADH=∠OMP，又∵∠AHD=∠OPM=90°，
∴△OMP∽△ADH，
∴

OM

AD

=

OP

AH

，即

1 2 (8-x)

2 5

=

x2+16 2

4

，
化简得：16-2x=

5x2+80

，
两边平方后，整理得：x²+64x-176=0，
解得：x₁=-32+20

3

，x₂=-32-20

3

（舍去）
∵0＜-32+20

3

＜5
∴x=-32+20

3

符合题意，
∴

S2

S1

=

x2

16

=139-80

3

．

点评：本题是几何综合题，考查了直角梯形、相似、勾股定理、等边三角形、矩形、中位线、圆的切线、解方程、解直角三角形等知识点，考查了轴对称变换与动点型问题，涉及考点较多，有一定的难度．