Question

如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC、AD于点F、E，垂足为O．
（1）求证：四边形AFCE为菱形；
（2）若AB=4，BC=8，求菱形AFCE的面积．

Answer 1

考点：菱形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,矩形的性质

专题：

分析：（1）先证明△AOE≌△COF，得出OE=OF，再根据EF垂直平分AC，可得出四边形AFCE为菱形；
（2）设AF=x，由AB=4，BC=8，得BF=8-x，根据勾股定理可得出AF的长，根据菱形的面积求解即可．

解答：解：（1）证明：∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FOC，AOE=∠COF，
∴在△AOE和△COF中，

∠EAO=∠FOC AO=CO ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为菱形；（6分）
（2）设AF=x，
∵AB=4，BC=8，∴BF=8-x，
∴AF²=AB²+BF²，
∴x²=4²+（8-x）²，
∴x=5，
∴S_菱形AFCE=FC•AB=5×4=20，
∴菱形面积为20．（2分）

点评：本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质、矩形的性质以及面积的求法，是重点知识，要熟练掌握．