Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，点P在AC上，AP=1，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，则⊙O的半径是（　　）

• A．

  3

  4

• B．

  1

  2

• C．

  3

  5

• D．1

Answer 1

分析：连接OM、ON，设⊙O半径为R，求出OM=MP=R，根据勾股定理求出BP，OP，求出BO，根据切线长定理求出AN=AM=1+R，求出BN，在Rt△BNO中，根据勾股定理求出即可．

解答：
解：连接OM、ON，
∵⊙O与AB、AC都相切，
∴AN=AM，OM⊥CP，ON⊥AB，
∴∠BNO=∠OMP=90°，
设⊙O半径为R，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，由勾股定理得：BC=3，
∵AP=1，AC=4，
∴CP=4-1=3=BC，
∴∠CBP=∠CPB=45°，
∵∠OMP=90°，
∴∠MOP=45°=∠OPM，
∴OM=MP=R，
在Rt△OMP中，由勾股定理得：PO=

2

R，．．
在Rt△BCP中，由勾股定理得：BP=3

2

，
则BO=3

2

-

2

R，AM=AN=1+R，
∴BN=BA-AN=5-（1+R_=4-R，
∵在Rt△BNO中，由勾股定理得：BN²+ON²=BO²，
∴（4-R）²+R²=（3

2

-

2

R）²，
解得：R=

1

2

，
故选B．

点评：本题考查了切线长定理，勾股定理，等腰三角形性质的应用，用了方程思想．