Question

如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=，AD=5，BC=3．以AD所在的直线为x轴，过点B且垂直于AD的直线为y轴建立平面直角坐标系．抛物线y=ax²+bx+c经过O、C、D三点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设（1）中的抛物线与BC交于点E，P是该抛物线对称轴上的一个动点（如图2）：
①若直线PC把四边形AOEB的面积分成相等的两部分，求直线PC的函数表达式；
②连接PB、PA，是否存在△PAB是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，并直接写出相应的△PAB的外接圆的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先过点C作CF⊥AD于F，根据题意可得Rt△AOB≌Rt△CFD，则可得C（3，3），D（4，0），则利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（2）①连接AE交OB于点G，因为E的纵坐标为3，代入即可求得其横坐标的值，则可求得BE的长，则可证得四边形AOEB是平行四边形，当PC过点G时，PC把四边形AOEB的面积平分，由点C与G的坐标，利用待定系数法即可求得直线PC的解析式；
②首先求得M与N的坐标，再分别从PB²=PM²+BM²=（y-3）²+4，PA²=PM²+AM²=y²+9，AB²=10这三方面去分析，注意不要漏解，
解答：解：（1）过点C作CF⊥AD于F，
由已知得：Rt△AOB≌Rt△CFD，OF=BC=3，
∴AO=DF=1，OD=OF+DF=4，
∴CF=，
∴C（3，3），D（4，0），
∴，
解得：a=-1，b=4，c=0，
∴所求的抛物线为y=-x²+4x；

（2）①连接AE交OB于点G，
把y=3代入y=-x²+4x，
得：-x²+4x=3，
解得：x₁=1，x₂=3，
∴E（1，3），
∴BE=1=OA，
∵BE∥OA，
∴四边形AOEB是平行四边形，
∴当PC过点G（G为AOEB两条对角线的交点）时，PC把四边形AOEB的面积平分，
∵OG=OB=，
∴G（0，），
∴C（3，3），
∴直线CG为：，
∴即直线PC为：；

②存在满足条件的点P，
由（1）知抛物线的对称轴为x=2，
设P（2，y），对称轴交BC于点M，交x轴于点N，
则M（2，3），N（2，0），
∴PB²=PM²+BM²=（y-3）²+4，PA²=PM²+AM²=y²+9，AB²=10，
有三种可能，
若∠PBA=90°，则PA²=PB²+AB²，
∴y²+9=（y-3）²+4+10，
解得y=，
∴P（2，），
∴AP==，
此时△PAB外接圆的面积是：π×（×）²=π，
若∠PAB=90°，则PB²=PA²+AB²，
∴（y-3）²+4=y²+9+10，
解得：y=-1，
∴P（2，-1），
∴BP=2，
此时△PAB外接圆的面积是：5π，
若∠APB=90°，则PB²+PA²=AB²，
∴（y-3）²+4+y²+9=10，此方程无实数根，
∴此时满足条件的点P不存在，
综上所述，存在满足条件的点P，
当点P（2，）时，△PAB外接圆的面积是π，
当点P（2，-1）时，△PAB外接圆的面积是5π．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，以及平行四边形的判定与性质等知识．此题综合性很强，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．