Question

如图，矩形ABCD中AD=9，CD=8，⊙O₁与⊙O₂是矩形内的二圆，且⊙O₁与AB、AD相切，⊙O₂与CD、CB相切，二圆又外切，则二圆面积之和的最大值是________，最小值是________．

Answer 1

17π    
分析：设⊙O₁的半径为y，⊙O₂的半径为x，过O₂与O₁分别作AB与BC的垂线O₂H，O₁F，垂足分别为H，O₂H，O₁F交于点E，根据勾股定理求出x与y之间的关系式，然后根据圆的面积公式即可求解．
解答：设⊙O₁的半径为y，⊙O₂的半径为x，
过O₂与O₁分别作AB与BC的垂线O₂H，O₁F，垂足分别为H，F．O₂H，O₁F交于点E，
则有：O₁E=8-（x+y），O₂E=9-（x+y），
由勾股定理可得：
（x+y）²=[8-（x+y）]²+[9-（x+y）]²，
整理，得（x+y-29）（x+y-5）=0，
由题意知1≤x≤4，
∴x+y=5，y=-x+5，
∴S=πx²+πy²=2π[（x-）²+]，
故：当x=时，S_min=π；
当x=4时，s_max=17π．
故答案为：17π，π．
点评：本题主要考查了相切两圆的性质，同时考查了二次函数的最值及勾股定理，难度较大，在做题的过程中关键是正确作出辅助线以打开思路．