Question

14．如图①，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AB=AC，AD=AE，然后将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，连接BD，CE，得到图②，将BD、CE分别延长至M、N，使DM=$\frac{1}{2}$BD，EN=$\frac{1}{2}$CE，得到图③，请解答下列问题：

（1）在图②中，BD与CE的数量关系是BD=CE；
（2）在图③中，判断△AMN的形状，及∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质知∠BAD=∠CAE，证△BAD≌△CAE可得；
（2）由△BAD≌△CAE知∠ABD=∠ACE，BD=CE，结合DM=$\frac{1}{2}$BD，EN=$\frac{1}{2}$CE可得BM=CN，再证△ABM≌△ACN得AM=AN，∠BAM=∠CAN，即可得证．

解答 解：（1）由旋转的性质知∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BA=CA}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，
故答案为：BD=CE；

（2）AM=AN，∠MAN=∠BAC，
由（1）知△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
又∵DM=$\frac{1}{2}$BD，EN=$\frac{1}{2}$CE，
∴BM=CN，
在△ABM和△ACN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BM=CN}\\{∠ABM=∠ACN}\\{BA=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴AM=AN，∠BAM=∠CAN，即∠BAC+∠CAM=∠CAM+∠MAN，
∴△AMN为等腰三角形，且∠MAN=∠BAC．

点评 本题主要考查旋转的性质和全等三角形的判定与性质，根据所求证确定所需求证的三角形全等是解题的关键．