Question

如图，AB是⊙O的直径，⊙O过CB的中点D，直线FE过点D，且FE⊥AC于E，FB切⊙O于B，P是线段DF上一动点，过P作PN⊥AB于N，PN与⊙O交于点Q，与DB交于点M．
（1）求证：FE是⊙O的切线；
（2）若∠C=30°，AB=2，设DP=x，MN=y，求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）在（2）中，当x为何值时，PQ：PN=1：5．

Answer 1

（1）证明：连接OD，AD，则AD⊥BC；
∵D是BC的中点，
∴AC=AB，
∴∠C=∠OBD．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC．
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切线．

（2）解：∵∠C=30°，
∴∠CDE=60°，∠NMB=90°-∠B=60°，
∴∠PDM=∠PMD=60°．
∴△PDM是等边三角形．
∴PD=PM=DM=x．
∵∠OBD=30°，AB=2，
∴BD=．
∵∠OBD=30°，
∴BM=2y．
∴BD=BM+MD=2y+x=．
∴y=-x+（0＜x≤）．

（3）解：∵PQ：PN=1：5，
设PQ=a，则QN=4a，PN=5a
∵PD²=PQ•（PQ+2QM）=a•（a+8a），
∴PD=PM=3a，MN=PN-PM=2a，
根据（2）的函数关系式可得：2a=-×3a+，解得a=．
∴x=3a=．
分析：（1）连接OD，证OD⊥EF即可．
（2）由已知可得出三角形PDM是等边三角形，因此DP=DM=x，根据AB的值，可在直角三角形ADB中，求出BD的长；在直角三角形MNB中，可用NM表示出BM的长，由此可根据BD=BM+DM求出y，x的函数关系式．
（3）本题可先设出PQ，PN的长，然后表示出PQ，PN，QN的长；根据切割线定理求出PD的表达式，即可求出PM，MN的表达式；然后将PM，MN的表达式代入（2）的函数关系式中，即可求出PM，PD即x的值．
点评：本题主要考查切线的判定，相似三角形的判定的运用．