Question

2．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM平分∠EFD，点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．
（1）如图1，试说明：∠HMF=$\frac{1}{2}$（∠BHP+∠DFP）；
请在下列解答中，填写相应的理由：
解：过点M作MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．
∵AB∥CD（已知），
∴MQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∴∠1=∠3，∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）
∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）
即∠HMF=∠1+∠2．
∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）
∵∠1=$\frac{1}{2}$∠BHP，∠2=$\frac{1}{2}$∠DFP（角平分线定义）
∴∠HMF=$\frac{1}{2}$∠BHP+$\frac{1}{2}$∠DFP=$\frac{1}{2}$（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．
（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；
（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．

Answer 1

分析 （1）根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线定义进行判断即可；
（2）先根据HP⊥EF，AB∥CD，得到∠EHP+∠DFP=90°，再根据（1）中结论即可得到∠HMF的度数；
（3）先根据题意得到∠NFQ=90°-∠FNQ，再根据FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，即可得出∠HFD=2∠NFQ，最后根据∠EHF+∠HFD=180°，即可得出∠EHF=2∠FNQ．

解答 解：（1）由MQ∥CD，得到∠1=∠3，∠2=∠4，其依据为：两直线平行，内错角相等； 
由FM平分∠EFD，HM平分∠BHP，得到∠1=$\frac{1}{2}$∠BHP，∠2=$\frac{1}{2}$∠DFP，其依据为：角平分线定义．
故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线定义．

（2）如图2，∵HP⊥EF，
∴∠HPE=90°，
∴∠EHP+∠HEP=180°-90°=90°（三角形的内角和等于180°）
又∵AB∥CD，
∴∠HEP=∠DFP．
∴∠EHP+∠DFP=90°．
由（1）得：∠HMF=$\frac{1}{2}$（∠EHP+∠DFP）=$\frac{1}{2}$×90°=45°． 

（3）如图3，∵NQ⊥FM，
∴∠NFQ+∠FNQ=180°-90°=90°（三角形的内角和等于180°）．
∴∠NFQ=90°-∠FNQ．
∵FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，
又∵∠NFQ=∠NFE+∠QFE=$\frac{1}{2}$（∠HFE+∠EFD）=$\frac{1}{2}$∠HFD，
∴∠HFD=2∠NFQ．
又∵AB∥CD，
∴∠EHF+∠HFD=180°，
∴∠EHF=180°-∠HFD=180°-2∠NFQ=180°-2（90°-∠FNQ）=2∠FNQ，
即无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．

点评 本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义以及平行公理的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．