Question

如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E．
（1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求：不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可）；
（2）若∠ABC为直角，其它条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形．〔要求：写出6个结论即可，其它要求同（1）〕

Answer 1

解：（1）①DE是⊙O的切线，
②AB=BC，
③∠A=∠C，
④DE²=BE•CE，
⑤CD²=CE•CB，
⑥∠C+∠CDE=90°，
⑦CE²+DE²=CD²；
以上结论可任意选择．
证明：连接OD、BD；
∵D、O分别是AC、AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，则OD∥BC；
∵DE⊥BC，∴OD⊥DE，即DE是⊙O的切线；①
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°；
∵D是AC的中点，∴BD垂直平分AC；
∴AB=BC②，∠A=∠C③；
在Rt△CDB中，DE⊥BC，由射影定理得：CD²=CE•CB⑤，DE²=BE•CE④；
在Rt△CDE中，DE⊥CE，则∠C+∠CDE=90°，由勾股定理得CD²=CE²+DE²⑦；

（2）①CE=BE，②DE=BE，
③DE=CE，④DE∥AB，
⑤CB是⊙O的切线，⑥DE=AB，
⑦∠A=∠CDE=45°，
⑧∠C=∠CDE=45°，
⑨CB²=CD•CA，
⑩，
（11）AB²+BC²=AC²
（12）；
证明：∵∠ABC=90°，且AB是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线；⑤
∵DE⊥BC，AB⊥BC，
∴DE∥AB；④
∴⑩，；（12）
∵D是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，得BE=CE①，DE=AB⑥；
在Rt△DBC中，E是斜边BC的中点，则DE=BE②，DE=CE③；
由（1）易知△ABC是等腰直角三角形，则∠A=∠CDE=45°⑦，∠C=∠CDE=45°⑧；
在Rt△CBA中，∠ABC=90°，由勾股定理得AB²+BC²=AC²（11）；
由于BD⊥AC，由射影定理得CB²=CD•CA⑨．
分析：（1）连接OD、BD；由圆周角定理知BD⊥AC，则△BDC、△ABD是Rt△；由于D是AC中点，可得OD是△ABC的中位线；由D是AC中点，且BD⊥AC，可得到BD垂直平分AC；根据上述三个条件来推出所求的结论；
（2）当∠ABC=90°时，BC为⊙O的切线，△ABC是等腰Rt△，且四边形ODEB是正方形，可根据这些条件进行推断．
点评：此题是开放性试题，着重考查学生对基础知识的掌握能力，涉及的知识点有：圆周角定理、勾股定理、切线的判定、等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、三角形中位线定理、相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理等．