Question

15．己知AB是⊙O的直径，F是BA延长线上一点，FD是⊙O的切线，切点为D，BE⊥FD，交FD的延长线于点E，交⊙O于点C．
（1）如图1，连接BD，求证：∠1=∠2；
（2）如图1，连结CD，若AB=10，BC=6，求CD的长；
（3）如图2，当AB=8，BC=4时，求图中阴影部分面积．

Answer 1

分析 （1）只要证明OD∥BE，可得∠1=∠ODB，由OD=OB，可得∠ODB=∠2，即可证明∠1=∠2．
（2）如图1中，连接AC交OD于N．首先证明OD⊥AC，可以推出AN=CN=DE=4，再由△EDC∽△EBD，得DE²=EC•EC，设EC=x，则16=x（x+6），解方程即可解决问题．
（3）如图2中，连接AC、OD、OC、DC．首先证明DC∥AB，推出由AB=2BC，推出∠BAC=30°，推出△DOC是等边三角形，推出S_△DCB=S_△DCO，
推出S_阴=S_扇形O-DC，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接OD．

∵EF是切线，
∴OD⊥EF，
∵BE⊥EF，
∴OD∥BE，
∴∠1=∠ODB，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠2，
∴∠1=∠2．

（2）解：如图1中，连接AC交OD于N．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
由（1）可知，OD∥BE，
∴∠ANO=∠ACB=90°，
∴OD⊥AC，
∴AN=CN，
∵AB=10，BC=6，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=8，
∵∠E=∠NDC=∠NCE=90°，
∴四边形DECN是矩形，
∴AN=CN=DE=4，
∵∠E=∠E，∠EDC=∠EBD，
∴△EDC∽△EBD，
∴DE²=EC•EC，设EC=x，则16=x（x+6），
∴x²+6x-16=0，
∴x=2或-8（舍弃），
∴EC=2，DC=$\sqrt{D{E}^{2}+E{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

（3）解：如图2中，连接AC、OD、OC、DC．

∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=8，BC=4，
∴AB=2BC，
∴∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°，
由（1）可知，OD∥BE，
∴∠DOF=∠ABC=60°，
∵○BOC=2∠BAC=60°，
∴∠DOC=60°，
∵OD=OC，
∴△DOC是等边三角形，
∴∠DCO=∠BOC=60°，
∴CD∥AB，
∴S_△DCB=S_△DCO，
∴S_阴=S_扇形O-DC=$\frac{60}{360}$•π•4²=$\frac{8}{3}$π．

点评 本题考查切线的性质、扇形的面积、勾股定理、直径的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用方程的扇形思考问题，学会把求不规则图形的面积，转化为求规则图形的面积，属于中考常考题型．