Question

14．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B=∠D．求证：四边形ABCD为等邻边四边形．
（2）如图2，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1，将△ABC沿∠ABC的平分线BB′的方向平移，得到△A′B′C′，连接AA′、BC′，若平移后的四边形ABC′A′是等邻边四边形，且满足BC′=AB，求平移的距离．
（3）如图3，在等邻边四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC和BD为四边形对角线，△BCD为等边三角形，试探究AC和AB的数量关系．

Answer 1

分析 （1）先判断△ABC≌△ADC，得到AB=AD，即可；
（2）根据平移得特征，得到A′B′∥AB，∠A′B′C′=∠ABC=90°，C′B′=CB=1，用勾股定理列出方程求解即可；
（3）先判断出△AED为等边三角形，再说明△BDE≌△CDA，最后用勾股定理即可．

解答 解：（1）∵∠BAC=∠DAC，∠B=∠D，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是等邻边四边形．
（2）如图2，延长C′B′交AB于点D，
∵△A′B′C′由△ABC平移得到，
∴A′B′∥AB，∠A′B′C′=∠ABC=90°，C′B′=CB=1，
∴B′D⊥AB，
∵BB′平分∠ABC，
∴∠B′BD=45°，
即B′D=BD
设B′D=BD=x，
∴C′D=1+x，
∵BC′=AB=2，
∴Rt△BDC′中，x²+（1+x）²=4，
解得x₁=$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$，x₂=$\frac{-1-\sqrt{7}}{2}$（不合题意，舍去），
∴等腰Rt△BB′D中，BB′=$\sqrt{2}$x=$\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{14}}{2}$，
∴平移的距离为$\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{14}}{2}$，

（3）AC=$\sqrt{2}$AB，
理由：如图3，过A作AE⊥AB，且AE=AB，连接ED，EB，
∵AE⊥AB，
∴∠EAD+∠BAD=90°，
又∵∠BAD+∠BCD=90°，△BCD为等边三角形，
∴∠EAD=∠DCB=60°，
∵AE=AB，AB=AD，
∴AE=AD，
∴△AED为等边三角形，
∴AD=ED，∠EDA=∠BDC=60°
∴∠BDE=∠CDA，
∵ED=AD，BD=CD，
∴△BDE≌△CDA，
∴AC=BE
∵AE=BE，∠BAE=90°，
∴BE=$\sqrt{2}$AB，
∴AC=$\sqrt{2}$AB．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查新定义等邻边四边形，理解这个新定义，平移得特征，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，新定义的理解是解本题的关键．