Question

16．设凸四边形ABCD的四个顶点满足条件：每一点到其它三点的距离之和都相等．试判断：这个四边形的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 根据每一个顶点到其他三个顶点距离之和都相等，可得S=AB+AD+AC…①，S=BA+BD+BC…②，S=CA+CB+CD…③，S=DA+DB+DC…④，然后由②相等④得（1），由①相等③得（2），再由（1）+（2）可得AD=BC，再证明DC=AB，即可判定四边形的形状是平行四边形，再根据对角线相等即可判定矩形．

解答 证明：以A点的角度看，S=AB+AD+AC…①，
以B点的角度看，S=BA+BD+BC…②，
以C点的角度看，S=CA+CB+CD…③，
以D点的角度看，S=DA+DB+DC…④，
由②、④得AD+DC=AB+BC…（1），
由①、③得BA+AD=CB+CD…（2），
由（1）+（2）得，
2AD=2BC，所以AD=BC，
把这个结论代入（1）得DC=AB，
所以四边形ABCD是平行四边形，
同理可得AC=BD，
所以四边形ABCD是矩形．

点评 此题主要考查矩形的判定，解答此题的关键是利用每一个顶点到其他三个顶点距离之和都相等，列出各个等式，然后得出CD=AB，AD=BC，AC=BD．