Question

在矩形ABCD中．点E为BC边上的一动点，沿AE翻折，ABE与AFE重合，射线AF与直线CD交于点G．
（1）如图1，消退点E为BC中点时，线段AB、AG、GD之间具有怎样的数量关系？并给出证明；
（2）如图2，当BE：EC=3：1时，上问中的结论是否改变？写出证明过程；

Answer 1

【答案】分析：（1）根据翻折的性质得出BE=EF，∠B=∠EFA，利用三角形全等的判定得△ECG≌△EFG，即可得出GC=FG，继而得出AG+GD=2AB；
（2）结论改变，过点E作EH⊥BC，分别交AG和AD于点H和I，则有△ADG∽△EFH，继而有，EH=AB+DG，代入即可求出AB、GD和AG的关系．
解答：解：（1）AG+GD=2AB．
证明：连接EG，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE=EF，
∴EF=EC，
∵EG=EG，∠C=∠EFG=90°，
∴△ECG≌△EFG，
∴FG=CG，
∴AG=AF+FG=AB+FG，GD=DC-GC=AB-GC，
AG+GD=（AB+FG）+（AB-GC）=2AB．

（2）结论改变．
证明：过点E作EH⊥BC，分别交AG和AD于点H和I，
则HE∥GC，∠G=∠AHE，
又∠ADG=∠EFH=90°，
∴△ADG∽△EFH，
∴   ①，
又BE：EC=3：1，
∴EH=EI+HI=AB+HI=AB+DG，
代入①式得：=，
整理得：3AG=4AB+3GD．

点评：此题主要考查了矩形的性质、翻折变换、全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识，难度较大，其中第二问的解题关键是正确作出辅助线，注意这类题目的积累和思考．