Question

16．五边形ABCDE中，∠EAB=∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，且满足以点B为圆心，AB长为半径的圆弧AC与边DE相切于点F，连接BE，BD．
（1）如图1，求∠EBD的度数；
（2）如图2，连接AC，分别与BE，BD相交于点G，H，若AB=1，∠DBC=15°，求AG•HC的值．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接BF，由DE与⊙B相切于点F，得到BF⊥DE，通过R_t△BAE≌R_t△BFE，得到∠1=∠2，同理∠3=∠4，于是结论可得；
（2）如图2，连接BF并延长交CD的延长线于P，由△ABE≌△CBP，得到PB=BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求出PF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}-1$，通过△AEG∽△CHD，列比例式即可得到结果．

解答 解：（1）如图1，连接BF，
∵DE与⊙B相切于点F，
∴BF⊥DE，
在R_t△BAE与R_t△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}{BA=BF}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴R_t△BAE≌R_t△BFE，
∴∠1=∠2，
同理∠3=∠4，
∵∠ABC=90°，
∴∠2+∠3=45°，
即∠EBD=45°；

（2）如图2，连接BF并延长交CD的延长线于P，
∵∠4=15°，
由（1）知，∠3=∠4=15°，
∴∠1=∠2=30°，∠CBP=30°，
∵∠EAB=∠PCB=90°，AB=1，
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在△ABE与△CBP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠CBP}\\{AB=BC}\\{∠BAE=∠BCP}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBP，
∴PB=BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴PF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}-1$，
∵∠P=60°，
∴DF=2-$\sqrt{3}$，
∴CD=DF=2-$\sqrt{3}$，
∵∠EAG=∠DCH=45°，
∠AGE=∠BDC=75°，
∴△AEG∽△CHD，
∴$\frac{AG}{CD}=\frac{AE}{CH}$，
∴AG•CH=CD•AE，
∴AG•CH=CD•AE=（2-$\sqrt{3}$）•$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，画出辅助线构造全等三角形是解题的关键．