Question

7．如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．
（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．
（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由．
（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．

Answer 1

分析 （1）作ME⊥x轴于E，则∠MEP=90°，先证出∠PME=∠CPO，再证明△MPE≌△PCO，得出ME=PO=t，EP=OC=4，求出OE，即可得出点M的坐标；
（2）连接AM，先证明四边形AEMF是正方形，得出∠MAE=45°=∠BOA，AM∥OB，证出四边形OAMN是平行四边形，即可得出MN=OA=4；
（3）先证明△PAD∽△PEM，得出比例式$\frac{AD}{ME}=\frac{AP}{EP}$，得出AD，求出BD，求出四边形BNDM的面积S是关于t的二次函数，即可得出结果．

解答 解：（1）作ME⊥x轴于E，如图1所示：
则∠MEP=90°，ME∥AB，
∴∠MPE+∠PME=90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠POC=90°，OA=OC=AB=BC=4，∠BOA=45°，
∵PM⊥CP，
∴∠CPM=90°，
∴∠MPE+∠CPO=90°，
∴∠PME=∠CPO，
在△MPE和△PCO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MEP=∠POC=90°}&{\;}\\{∠PME=∠CPO}&{\;}\\{PM=CP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△MPE≌△PCO（AAS），
∴ME=PO=t，EP=OC=4，
∴OE=t+4，
∴点M的坐标为：（t+4，t）；
（2）线段MN的长度不发生改变；理由如下：
连接AM，如图2所示：
∵MN∥OA，ME∥AB，∠MEA=90°，
∴四边形AEMF是矩形，
又∵EP=OC=OA，
∴AE=PO=t=ME，
∴四边形AEMF是正方形，
∴∠MAE=45°=∠BOA，
∴AM∥OB，
∴四边形OAMN是平行四边形，
∴MN=OA=4；
（3）∵ME∥AB，
∴△PAD∽△PEM，
∴$\frac{AD}{ME}=\frac{AP}{EP}$，
即$\frac{AD}{t}=\frac{4-t}{4}$，
∴AD=-$\frac{1}{4}$t²+t，
∴BD=AB-AD=4-（-$\frac{1}{4}$t²+t）=$\frac{1}{4}$t²-t+4，
∵MN∥OA，AB⊥OA，
∴MN⊥AB，
∴四边形BNDM的面积S=$\frac{1}{2}$MN•BD=$\frac{1}{2}$×4（$\frac{1}{4}$t²-t+4）=$\frac{1}{2}$（t-2）²+6，
∴S是t的二次函数，
∵$\frac{1}{2}$＞0，
∴S有最小值，
当t=2时，S的值最小；
∴当t=2时，四边形BNDM的面积最小．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四边形面积的计算以及二次函数的最值等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要证明四边形是正方形、平行四边形、三角形相似以及运用二次函数才能得出结果．