Question

19．如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．
（1）求证：AT是⊙O的切线；
（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质求得∠TAB=90°，得出TA⊥AB，从而证得AT是⊙O的切线；
（2）作CD⊥AT于D，设OA=x，则AT=2x，根据勾股定理得出OT=$\sqrt{5}$x，TC=（$\sqrt{5}$-1）x，由CD⊥AT，TA⊥AB得出CD∥AB，根据平行线分线段成比例定理得出$\frac{CD}{OA}$=$\frac{TC}{OT}$=$\frac{TD}{TA}$，即$\frac{CD}{x}$=$\frac{（\sqrt{5}-1）x}{\sqrt{5}x}$=$\frac{TD}{2x}$，从而求得CD=（1-$\frac{\sqrt{5}}{5}$）x，AD=2x-2（1-$\frac{\sqrt{5}}{5}$）x=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，然后解正切函数即可求得．

解答 解：（1）∵∠ABT=45°，AT=AB．
∴∠TAB=90°，
∴TA⊥AB，
∴AT是⊙O的切线；
（2）作CD⊥AT于D，
∵TA⊥AB，TA=AB=2OA，
设OA=x，则AT=2x，
∴OT=$\sqrt{5}$x，
∴TC=（$\sqrt{5}$-1）x，
∵CD⊥AT，TA⊥AB
∴CD∥AB，
∴$\frac{CD}{OA}$=$\frac{TC}{OT}$=$\frac{TD}{TA}$，即$\frac{CD}{x}$=$\frac{（\sqrt{5}-1）x}{\sqrt{5}x}$=$\frac{TD}{2x}$，
∴CD=（1-$\frac{\sqrt{5}}{5}$）x，TD=2（1-$\frac{\sqrt{5}}{5}$）x，
∴AD=2x-2（1-$\frac{\sqrt{5}}{5}$）x=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，
∴tan∠TAC=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{（1-\frac{\sqrt{5}}{5}）x}{\frac{2\sqrt{5}}{5}x}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
或可以使用切割线定理：延长TO交圆与点G，连接AG．tan∠TAC=tan∠G=$\frac{CA}{GA}$=$\frac{CT}{TA}$=$\frac{（\sqrt{5}-1）x}{2x}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定，勾股定理的应用，平行线的判定和性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．