Question

已知，如图，抛物线的顶点为C（1，-2），直线y=kx+m与抛物线交于A、B两点，其中OA=3，B点在y轴上．点P为线段AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于x轴的直线与这条抛物线交于点E．
（1）求直线AB的解析式；
（2）设点P的横坐标为x，求点E坐标（用含x的代数式表示）；
（3）点D是直线AB与这条抛物线对称轴的交点，是否存在点P，使得以点P、E、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

解：（1）解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x-1）²-2，
∵A（3，0）在抛物线上，
∴0=a（3-1）²-2
∴a=，
∴y=（x-1）²-2，
当x=0时，y=-，
∴B（0，-），
∴设直线AB的解析式为y=kx+b，
把点A、B的坐标代入解析式得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=x-；

（2）∵P为线段AB上的一个动点，PE⊥x轴，且P点横坐标为x，
∴E点横坐标为x，
∵E在抛物线上，
∴E点坐标为（x，（x-1）²-2）；

（3）D点在抛物线y=（x-1）²-2的对称轴上，横坐标为1，
又∵D点直线AB上，
∴D的坐标为：D（1，-1），
①当∠DEP=90°时，如图，△AOB∽△EDP，
∴=．
过点D作DQ⊥PE于Q，
∴x_Q=x_P=x，y_Q=-1，
∴△DQP∽△AOB∽△EDP，
∴=，
又OA=3，OB=，AB=，
又DQ=x-1，
∴DP=（x-1），
∴==，
解得：x=-1±（负值舍去）．
∴P（-1，）（如图中的P₁点）；
②当∠DEP=90°时，△AOB∽△DEP，
∴=．
由（2）PE=-x²+x，DE=x-1，
∴=，
解得：x=1±，（负值舍去）．
∴P（1+，-1）（如图中的P₂点）；
综上所述，P点坐标为（1+，-1）或（-1，）．
分析：（1）首先设二次函数的解析式为y=a（x-1）²-2，由A点坐标为（3，0），则可将A点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法即可求得这个二次函数的解析式，当x=0时求出点C的坐标，设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A、B的坐标代入解析式，求出k，b的值即可得出AB的解析式；
（2）根据点横坐标为x，且PE⊥x轴，可得E点横坐标为x，又知E点在抛物线上，代入x即可得出E点坐标；
（3）分别从当∠EDP=90°时，△AOB∽△EDP与当∠DEP=90°时，△AOB∽△DEP两种情况去分析，注意利用相似三角形的对应边成比例等性质，即可求得答案，注意不要漏解．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是方程思想，分类讨论思想与数形结合思想的应用．