Question

已知矩形纸片ABCD中，AB=24厘米，BC=10厘米．
（1）按如下操作：先将矩形纸片上下对折，而后左右对折，再沿对角线对折，而后展开得到图中的折痕四边形EFGH（如图1），求菱形EFGH的面积．
（2）如图2，将矩形纸片ABCD先沿对角线AC对折，再将纸片折叠使点A与点C重合得折痕EF，则四边形AECF必为菱形，请加以证明．
（3）请通过一定的操作，构造一个菱形EFGH（不同于第（1）题中的特殊图形），使菱形的四个顶点分别落在矩形ABCD的四条边上（E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，且不与矩形ABCD的顶点重合）．
①请简述操作的方法，并在图3中画出菱形EFGH．
②求菱形EFGH的面积的取值范围．

Answer 1

考点：四边形综合题,全等三角形的判定与性质,勾股定理,菱形的判定与性质,矩形的性质,圆周角定理,轴对称的性质,锐角三角函数的定义

专题：综合题

分析：（1）如图1，由折叠可得HF=AB=24，GE=BC=10，然后运用菱形的面积公式就可解决问题．
（2）如图2，由折叠可得EF⊥AC，OA=OC；由矩形ABCD可得DC∥AB，从而有∠ECO=∠FAO，进而可证到△EOC≌△FOA，则有OE=OF，就可证到四边形AECF是菱形．
（3）①只需先通过折叠找到矩形的中心0，然后再经过两次折叠（两条折痕过点O且互相垂直）就可得到符合要求的菱形EFGH；
②易证∠GDH=∠GOH=90°，从而可得O、G、D、H四点共圆，根据圆周角定理可得∠GHO=∠GDO，然后利用三角函数就可得到

OG

OH

=

BC

DC

=

5

12

．设OG=5k，则OH=12k，从而得到菱形EFGH的面积为120k²．只需求出k的范围，就可解决问题．

解答：解：（1）如图1，

由折叠可得：HF=AB=24，GE=BC=10．
∴S_菱形EFGH=

1

2

HF•GE=

1

2

×24×10=120．
∴菱形EFGH的面积为120cm²．

（2）证明：如图2，

由折叠可得：EF⊥AC．OA=OC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB．
∴∠ECO=∠FAO．
在△EOC和△FOA中，

∠ECO=∠FAO OC=OA ∠EOC=∠FOA

．
∴△EOC≌△FOA（ASA）．
∴OE=OF．
∵OE=OF，OC=OA，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形．

（3）①将矩形纸片分别沿着AC、BD折叠，设两折痕的交点为0，展开后沿经过点O的线FH折叠，
展开后再沿经过点O且与FH垂直的线EG折叠，则图3中的四边形EFGH就是符合要求的菱形EFGH．

②∵四边形ABCD是矩形，四边形EFGH是菱形，
∴∠GDH=∠GOH=90°．
∴O、G、D、H四点共圆．
∴∠GHO=∠GDO．
∴tan∠GHO=tan∠GDO．
∴

OG

OH

=

BC

DC

=

10

24

=

5

12

．
设OG=5k，则OH=12k．
∴FH=24k，GE=10k．
∴S_菱形EFGH=

1

2

FH•GE=120k²．
在Rt△ABC中，
AC=

AB2+BC2

=

242+102

=26．
∴OA=

1

2

AC=13．
当OH⊥AD时，OH=

1

2

AB=12．
∴12＜OH＜13．
∴12＜12k＜13．
∴1＜k＜

13

12

．
∴1＜k²＜

169

144

．
∴120＜120k²＜

845

6

．
∴120＜S_菱形EFGH＜

845

6

．
即菱形EFGH的面积大于120cm²且小于

845

6

cm²．

点评：本题考查了轴对称的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质、菱形的面积公式、全等三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理、三角函数等知识，综合性强，还考查了操作、推理、探究等能力，是一道好题．