Question

19．已知△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，O、I、H分别是△ABC的外心、内心和垂心，求证：
（1）OI=IH=HC；（2）AO=AH．

Answer 1

分析 （1）延长BO交外接圆于E，连接BI、BH、CI、OC、EC，由圆周角定理得出∠BOC=2∠BAC=120°，根据三角形内心的性质求出∠BIC=120°，同理根据垂心的性质得出∠BHC=120°，即可得出B，C，O，H、I五点共圆，进而求得∠IBC=∠HBC=∠OBI=10°，即可证得结论；
（2）构造以垂心H为顶点的平行四边形AHCE，再由平行四边形的性质及角之间的关系即可求解．

解答 证明：（1）延长BO交外接圆于E，连接BI、BH、CI、OC、EC，
∵∠ABC=40°，∠ACB=80°，
∴∠BAC=60°，
∵O是三角形的外心，
∴∠BOC=2∠BAC=120°（同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍），
∵I是△ABC的内心，
∴∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=20°，∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB=40°，
∴∠BIC=120°．
又∵垂心为点H，
∴∠BCH=50°，∠HBC=10°，
∴∠BHC=120°，
∴BE⊥AC，
∴∠BAE=90°，
∴∠ABE=90°-∠BAC=90°-60°=30°，
∴∠BOC=∠BIC=∠BHC，
又∵O，I，H在BC边同侧，
∴B，C，O，H、I五点共圆．
∵O是外心，
∴BE是直径，
∴∠BCE=90°，
∵∠BEC=∠BAC=60°，
∴∠EBC=∠30°，
∵∠IBC=20°，∠HBC=10°，
∴∠IBC=∠HBC=∠OBI=10°，
∴OI=IH=HC；
（2）连接AE，
∵H是垂心．
∴AH⊥BC，
∵CE⊥BC，
∴AH∥CE．
同理CH∥AE．
∴四边形AHCE为平行四边形，
∴AH=CE．
又∠BEC=∠A=60°，从而∠EBC=∠30°．
所以EC=$\frac{1}{2}$BE=OA，
故AH=OA．

点评 本题主要考查了三角形外心、内心、垂心的性质，平行四边形的判定及性质，能够结合题意通过作辅助线建立关系，再结合已知的关系最终得出结论．