Question

9．如图，在平面直角坐标系中，有抛物线y=ax²+bx+3，已知OA=OC=3OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求过A、B、C三点的圆的半径；
（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，说明理由；
（4）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连结EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出点C坐标，再根据条件求出A、B坐标，利用待定系数法即可．
（2）根据圆心在线段AB、线段AC的中垂线上，求出AB、AC的中垂线的解析式，解方程组即可．
（3）分两种情形讨论）①当∠CAP=90°，②当∠ACP=90°，利用解方程组的方法求出交点坐标．
（4）如图，要使EF最短只要OD最短即可，OD⊥AC时最短，

解答 解：（1）当x=0时，y=3，
∴C（0.3），OC=3，
∴OA=OC=3，OB=$\frac{1}{3}$OC=1，
∴A（3，0），B（-1，0），
把A、B两点坐标代入y=ax²+bx+3得$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+3=0}\\{a-b+3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y=-x²+2x+3．

（2）圆心在AB的中垂线上，即直线x=1上，
∵直线AC解析式为y=-x+3，
设线段AC中垂线的解析式为y=x+b，把（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）代入得b=0，
∴线段AC的中垂线的解析式为y=x，
当x=1时，y=1，
∴圆心为（1，1），
∴r=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．

（3）①当∠CAP=90°，直线AP的解析式为y=x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-5}\end{array}\right.$，
∴P（-2，-5）．
②当∠ACP=90°，直线PC的解析式为y=x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴点P坐标为（1，4）．

（4）如图，连接OD．

∵∠DEO=∠EOF=∠DFO=90°，
∴四边形OEDF是矩形，
∴EF=OD，
∴要使EF最短只要OD最短即可，
∴OD⊥AC时最短，
∵OC=OA=3，
∴CD=DA，
∴D（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴-x²+2x+3=$\frac{3}{2}$，
∴x=$\frac{2±\sqrt{10}}{2}$，
∴P₁（$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，$\frac{3}{2}$），P₂（$\frac{2-\sqrt{10}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、三角形的外接圆，最短问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论，学会利用垂线段最短解决最短问题，属于中考压轴题．