Question

4．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°且AB=12cm，点D为AB边上一动点（点D不与点A、B重合）．连结CD，以CD为腰向上作等腰直角△CDE，且∠DCE=90°．
（1）填空：∠BAC=45度；
（2）探索：
①随着点D的移动，四边形AECD面积是否发生变化？若变化，请说出它如何变化；若不变，请求出它的定值；
②当AD为多少时，△ADE的面积有最大值，并求出它的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质解答；
（2）①证明△ECA≌△DCB，得到四边形AECD面积=△ACB的面积，计算即可；
②设AD=x，根据全等三角形的性质用x表示出BD，根据三角形的面积公式求出△ADE的面积的解析式，根据二次函数的性质解答即可．

解答 解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=12cm，
∴AC=BC=6$\sqrt{2}$cm，
∴△ACB的面积=$\frac{1}{2}$×AC×BC=36cm²，
∴∠BAC=∠B=45°，
故答案为：45；
（2）①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∵∠ACB=90°，∠DCE=90°，
∴∠ECA=∠DCB，
在△ECA和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=DC}\\{∠ECA=∠DCB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ECA≌△DCB，
∴四边形AECD面积=△ACB的面积=36cm²，
即四边形AECD面积为定值36cm²；
②∵△ECA≌△DCB，
∴AE=DB，∠EAC=∠B=45°，
∴∠EAD=90°，
设AD=x，则AE=DB=12-x，
△ADE的面积=$\frac{1}{2}$×AE×AD=$\frac{1}{2}$x×（12-x）=$-\frac{1}{2}$（x-6）²+18，
∴当AD为6时，△ADE的面积有最大值，它的最大值是18．

点评 本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、二次函数的解析式的确定以及性质的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正确列出二次函数的解析式是解题的关键．