Question

20．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．
（1）求证：△ABP≌△ADP；
（2）已知FA=2DF，DP=6，求PG．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；
（2）首先证明△DFP≌△BEP，进而得出$\frac{DG}{AB}=\frac{1}{2}$，$\frac{BE}{AB}=\frac{1}{3}$，进而得出 $\frac{DP}{PE}$=$\frac{DG}{EB}$，即 $\frac{DP}{PF}=\frac{3}{2}$，得出FG=5，即可得出答案；

解答 解（1）由菱形的性质可知∠DAP=∠BAP，AD=AB，
在△DAP和△BAP中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAP=∠BAP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△DAP≌△BAP．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△AFP∽△CBP，
∴$\frac{AF}{BC}=\frac{2}{3}$．
∵$\frac{DF}{FA}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AF}{BC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{FP}{BP}=\frac{2}{3}$由（1）知PB=PD，
∴$\frac{PF}{PD}=\frac{2}{3}$．
∴PF=$\frac{2}{3}$PD，
当DP=6时，PF=$\frac{2}{3}$×6=4，
∴FB=FP+PB=4+6=10．
∵DG∥AB，
∴△DFG∽△AFB．
∴$\frac{FG}{FB}=\frac{FD}{PA}=\frac{1}{2}$，
∴FG=$\frac{1}{2}$×10=5
∴PG=FG+PF=5+4=9．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，平行线的性质，菱形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．