Question

19．已知关于x的一元二次方程mx²-（2m+1）x+2=0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根都是整数，求m的整数值；
（3）若此方程的两个实数根分别为x₁、x₂，求代数式m（x₁⁵+x₂⁵）-（2m+1）（x₁⁴+x₂⁴）+2（x₁³+x₂³）+5的值．

Answer 1

分析 （1）由根的判别式△=[-（2m+1）]²-4m•2=（2m-1）²即可知；
（2）根据韦达定理知x₁+x₂=$\frac{2m+1}{m}$=2+$\frac{1}{m}$，x₁•x₂=$\frac{2}{m}$，由方程的两个实数根都是整数可得答案；
（3）根据方程的解得定义得mx₁²-（2m+1）x₁+2=0、mx₂²-（2m+1）x₂+2=0，继而知mx₁⁵-（2m+1）x₁⁴+2x₁³=0，mx₂⁵-（2m+1）x₂⁴+2x₂³=0，两式相加可得．

解答 解：（1）∵△=[-（2m+1）]²-4m•2=（2m-1）²，
∴不论m为何值，（2m-1）²≥0，
∴此方程总有两个实数根；

（2）设方程的两个根为x₁，x₂，则x₁+x₂=$\frac{2m+1}{m}$=2+$\frac{1}{m}$，x₁•x₂=$\frac{2}{m}$，
∵此方程的两个实数根都是整数，
∴m的整数值为±1；

（3）∵x₁、x₂是方程mx²-（2m+1）x+2=0的两个实数根，
∴mx₁²-（2m+1）x₁+2=0，mx₂²-（2m+1）x₂+2=0，
则mx₁⁵-（2m+1）x₁⁴+2x₁³=0，mx₂⁵-（2m+1）x₂⁴+2x₂³=0，
以上两式相加可得m（x₁⁵+x₂⁵）-（2m+1）（x₁⁴+x₂⁴）+2（x₁³+x₂³）=0，
∴m（x₁⁵+x₂⁵）-（2m+1）（x₁⁴+x₂⁴）+2（x₁³+x₂³）+5=5．

点评 本题考查了根的判别式、方程的解得定义、根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．