Question

9．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=21cm，点P从点B出发沿BC以2cm/s的速度移动到点C；同时，点Q从点A出发沿AD以1cm/s的速度移动到点D；当点P运动到点C时点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为ts是否存在点P，使△DPQ是等腰三角形？如果存在，求出所有符合条件的t的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 先表示出PQ，PD，DQ，再分三种情况讨论计算即可．

解答 解：如图，过点Q作QE⊥⊥BC，
由题意得，AQ=t，PE=BP-BE=BP-AQ=2t-t=t，
∴DQ=21-t，PC=21-2t，QE=12，（0＜t≤$\frac{21}{2}$）
在Rt△PQE中，PQ²=12²+t²，
在Rt△PCD中，PD²=（21-2t）²+12²，
∵△DPQ是等腰三角形，
①当PQ=PD时，即：12²+t²=（21-2t）²+12²，
∴t=7或t=21（舍）；
②当PQ=DQ时，即：12²+t²=21-t，
此方程无解，
③当PD=DQ时，（21-2t）²+12²=21-t，
∴此方程无解．
即：t=7时，△DPQ是等腰三角形．

点评 此题是矩形的性质，主要考查了勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是表示出PD，DQ，PQ．