Question

14．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=-x+5与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=ax²+bx+5经过点B，与x轴负半轴相交于点A，且BO=5AO，
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线第一象限函数图象上一点，设点P的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，点D为AB中点，点Q在直线BC上，当以AD为一边，点A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先求出点B，C的坐标，进而求得OB=5，即可求出点A的坐标，最后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先求出OB，OC，再表示出OH，PH，HB，用面积的和差，S=S_△PBC=S_{四边形OCPH}+S_△PHB-S_△BOC即可得出结论；
（3）先设出点Q坐标，求出AD，再由以AD为一边，点A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，得出PQ∥AD，PQ=AD，即可建立方程求出m的值．

解答 解：（1）∵直线y=-x+5与x轴、y轴分别交于B、C两点，
∴B（5，0），C（0，5），
∴OB=5，
∵BO=5AO，
∴AO=1，
∴A（-1，0），
∵抛物线y=ax²+bx+5经过点B，与x轴负半轴相交于点A，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+5=0}\\{25a+5b+5=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为：y=-x²+4x+5；
（2）如图1，过点P作PH⊥AB于H，
∵点P的横坐标为m，
∴P（m，-m²+4m+5）
∵C（0，5），B（5，0），
∴OC=5，OB=5，OH=m，HB=5-m，PH=-m²+4m+5
∴S=S_△PBC=S_{四边形OCPH}+S_△PHB-S_△BOC=$\frac{1}{2}$（OC+PH）×OH+$\frac{1}{2}$PH×BH-$\frac{1}{2}$OB×OC
=$\frac{1}{2}$[5+（-m²+4m+5）]×m+$\frac{1}{2}$（-m²+4m+5）（5-m）-$\frac{1}{2}$×5×5
=-$\frac{5}{2}$m²+$\frac{25}{2}$m．）（0＜m＜5）
（3）∵A（-1，0），B（5，0），
∴AB=6
∵点D为AB中点，∴AD=$\frac{1}{2}$AB=3，
设Q（n，-n+5），P（m，-m²+4m+5），（0＜m＜5）
当以AD为一边，点A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，
∴PQ∥AD，PQ=AD，
∴-n+5=-m²+4m+5①，|m-n|=3②
联立①②得，|m-m²+4m|=|m²-5m|=3
∵0＜m＜5，
∴m²-5m+3=0
∴m=$\frac{5±\sqrt{13}}{2}$．
即：m=$\frac{{5+\sqrt{13}}}{2}$，或m=$\frac{{5-\sqrt{13}}}{2}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中图形的面积计算方法，平行四边形的判定，解本题的关键是判断出PQ∥AD，PQ=AD．