Question

4．已知，如图，在△ABC中：
（1）如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，若∠A=60°，则∠BOC的度数为120°；
（2）如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O₁、O₂，当∠BO₂C=2∠A时，求∠A的度数；
（3）如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O₁、O₂…O_n-1，当∠BO_n-1C=2∠A时，猜想：∠A的度数为$\frac{180°}{n+1}$（用含n的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的性质得出∠OBC+∠OCB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）先根据三角形内角和定理表示得∠ABC+∠ACB，再根据三等分线的定义求得∠O₂BC+∠O₂CB，即可用∠A表示∠BO₂C，建立方程求解即可；
（3）先根据三角形内角和定理表示得∠ABC+∠ACB，再根据n等分线的定义表示得∠O_n-1BC+∠O_n-1CB，即可表示出∠BO_n-1C．最后建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
∵∠A=60°，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（180°-60°）=60°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-60°
=120°，
故答案为：120°；
（2）∵点O₂是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点，
∴∠O₂BC+∠O₂CB=$\frac{2}{3}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{2}{3}$（180°-∠A），
∵∠BO₂C=2∠A
∴∠BO₂C=180°-（∠O₂BC+∠O₂CB）=180°-$\frac{2}{3}$（180°-∠A）=2∠A，
∴∠A=45°

（3）∵点O_n-1是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点，
∴∠O_n-1BC+∠O_n-1CB=$\frac{n-1}{n}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{n-1}{n}$×（180°-∠A），
∴∠BO_n-1C=180°-$\frac{n-1}{n}$×（180°-∠A），
∵∠BO_n-1C=2∠A，
∴180°-$\frac{n-1}{n}$×$\frac{n-1}{n}$×（180°-∠A）=2∠A，
∴∠A=$\frac{180°}{n+1}$，
故答案为：$\frac{180°}{n+1}$．

点评 此题是三角形内角和定理，主要考查练习角的等分线的性质以及三角形内角和定理．根据题意找出规律是解题的关键．