Question

20．已知：如图，一次函数y=kx+3的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象在第四象限交于点P．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、点D，且S_△DBP=27，$\frac{OC}{CA}$=$\frac{1}{2}$．
（1）求点D的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）求不等式kx+3-$\frac{m}{x}$＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）本题需先根据题意一次函数与y轴的交点，从而得出D点的坐标．
（2）本题需先根据在Rt△COD和Rt△CAP中，$\frac{OC}{CA}$=$\frac{1}{2}$．OD=3，再根据S_△DBP=27，从而得出BP得长和P点的坐标，即可求出结果．
（3）根据图形从而得出x的取值范围即可．

解答 解：（1）∵一次函数y=kx+3与y轴相交，
∴令x=0，解得y=3，得D的坐标为（0，3）；

（2）∵OD⊥OA，AP⊥OA，
∠DCO=∠ACP，
∠DOC=∠CAP=90°，
∴Rt△COD∽Rt△CAP，则$\frac{OD}{AP}=\frac{OC}{CA}=\frac{1}{2}$，OD=3，
∴AP=OB=6，
∴DB=OD+OB=9，
在Rt△DBP中，∴$\frac{DB×BP}{2}=27$，
即$\frac{9BP}{2}=27$=27，
∴BP=6，故P（6，-6），
把P坐标代入y=kx+3，得到k=-$\frac{3}{2}$，
则一次函数的解析式为：y=-$\frac{3}{2}x+3$；
把P坐标代入反比例函数解析式得m=-36，
则反比例解析式为：y=-$\frac{36}{x}$；

（3）根据图象可得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{2}x+3}\\{y=-\frac{36}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=9}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-6}\end{array}\right.$
故直线与双曲线的两个交点为（-4，9），（6，-6），
∴当x＞6或-4＜x＜0  时，一次函数的值小于反比例函数的值．

点评 本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，在解题时要注意知识的综合运用与图形相结合是解题的关键．