Question

14．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF分别是AB、CD的中点，线段EF交AC、BD于M、N两点，MN=1，AD＜BC，且AD、BC的长是抛物线y=x²-2kx+k²-k+2与x轴两个交点的横坐标．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）求AD、BC的长．

Answer 1

分析 （1）如图，连接AN，延长AN交BC于H．首先证明MN=$\frac{1}{2}$HC，由MN=1，推出HC=2，再证明AD=BH，推出BC-AD=2，根据根由系数的关系列出方程即可解决问题．
（2）求出抛物线与x轴的交点即可解决问题．

解答 解：（1）如图，连接AN，延长AN交BC于H．

∵AD∥BC，AE=EB，DF=FC，
∴AD∥EF∥CB，
∴AN=NH，DN=BN，AM=MC，
∴MN=$\frac{1}{2}$HC，∵MN=1，
∴HC=2，
在△AND和△HNB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=HN}\\{∠AND=∠BNH}\\{DN=BN}\end{array}\right.$，
∴△AND≌△HNB，
∴AD=BH，
∴BC-AD=BH=2，
∵AD、BC的长是抛物线y=x²-2kx+k²-k+2与x轴两个交点的横坐标．
∴（BC-AD）²=（BC+AD）²-4BC•AD，
∴4=4k²-4×（k²-k+2），
∴k=3，
∴二次函数的解析式为y=x²-6x+8．

（2）∵AD、BC的长是抛物线y=x²-6x+8与x轴两个交点的横坐标．
令y=0，x²-6x+8=0，解得x=2或4，
∴BC=4，AD=2．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法、梯形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，灵活应用根与系数关系，属于中考常考题型．